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1、平行四边形（专题讲座1）例1下面有四个命题：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。（4）一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确的命题的个数是（ ）(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4例2 ABCD是平行四边形，以AC为边在两侧各作一个正三角形ACP,与ACQ。 试证BPDQ为平行四边形。例3平行四边形相邻两边长5米和6米，一条对角线长为8米，另一条对角线长为，求k。
2、例4如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于D，点P在BC上，PEBC交BA的延长线于E，交AC于F。（1）求证：2AD=PE+PF；（2）平移PE，使P点在BC的延长线上，PE交BA的延长线于E，交AC的延长线于F，写出AD，PE，PF满足的关系式，并证明你的结论。例5在等腰三角形ABC的两腰AB，AC上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2,求证：EF1.例6如图,在等腰ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE。.求证:BAC=100.例7在平行四边形ABCD的边AB，AD上向外形作两个正方形ABMX，ADNY。求证：对角线AC与两正方形的顶点
3、X与Y的联线互相垂直。平行四边形（专题讲座1答案）例1下面有四个命题：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。（4）一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确的命题的个数是（ ）(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4解 命题（1）是假命题。如图（1）中的四边形ABCD，它满足命题的条件，A=C，AB=CD，但它不是平行四边形。命题（2）是假命题。如图（2），延长等腰ADE底
4、边ED至任意点O，以O为对角钱的交点作平行四边形ABCE，这时四边形ABCD满足AD=BC且AO=OC，但它不是平行四边形。命题（4）也是假命题，如图（3），四边形ABCD中，BAD=BCD，BD垂直平分AC，但四边形ABCD不是平行四边形。下面证明命题（3）是真命题。如图（4），四边形ABCD中，BAD=DCB，且命题。如图（4），四边形ABCD中，BAD=DCB，且OB=OD，以O为中心，将ABD逆时针旋转180。OB=OD, D与重合,B与D重合,点A与射线OC上的点A不是C,则BADBCD。（A在线段OC上，非点C），或BADBCD（A在线段OC的延长线上）都与BAD=BAD=BCD矛
5、盾，所以A即为C，即OA=OA=OC，所以A即为点C，即OA=OA=OC，所以四边形ABCD是平行四边形。故选（A）。例2 ABCD是平行四边形，以AC为边在两侧各作一个正三角形ACP, ACQ。 试证BPDQ为平行四边形。证明 因ACP与ACQ都是正三角形，于是PA=AC=CQ=PC=AQ。故四边形PAQC为平行四边形。连结PQ交AC于O。则O点是AC的中点也是PQ的中点。 连结BD，因ABCD是平行四边形，故BD与AC互相平分，即BD的中点也是O。因为PO=QO，BO=DO，所以BPDQ为平行四边形。例3平行四边形相邻两边长5米和6米，一条对角线长为8米，另一条对角线长为，求k。解 我们先
6、来证明下面的的“平行四边形定理”：平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。右图中ABCD 是平行四边形。作CEAB，DFAB，垂足为E，F。 显然BCEADF，则BE=AF，CE=DF。 故 BD2+AC2=BF2+FD2+AE2+CE2=(AB+AF) 2+FD2+(AB-BE) 2+CE2= (AB+BE) 2+CE2+(AB-BE) 2+CE2=2 (AB2+ BE 2+CE2)= 2 (AB2+ BC2). 下面运用这个性质解答原题，()2+82=2(52+62), k=58.例4如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于D，点P在BC上，PEBC交BA的延长线于E，交AC于F。（1）
7、求证：2AD=PE+PF；（2）平移PE，使P点在BC的延长线上，PE交BA的延长线于E，交AC的延长线于F，写出AD，PE，PF满足的关系式，并证明你的结论。解 （1）如图，延长AD至A,使AD=AD,连结AC,延长EF交AC于F. 在ABC中，AB=AC,且ADBC, AD平分BC，即BD=CD又 RtADCRtADC，AC=AC，ACD=ACD，CFF为等腰三角形，FP=FP. 又 CAD=CAD=BAD, ACAB,四边形AAFE是平行四边形， AA=EF,AA=2AD,EF=EP+PF=EP+PF,故2AD=PE+PF。(2)AD、PE、PF满足关系式2AD=PE-PF.如图,延长A
8、D到A使AD=AD，连接AC并延长与EF相交于F则由(1)知PF=PF，且AAFE是平行四边形， AA=EF，2AD=PE-PF.例5在等腰三角形ABC的两腰AB，AC上分别取点E和F，使AE=CF，已知BC=2,求证：EF1.证明 作平行四边形ABCH，在HC上截取HG=AE，连结EG ，显然四边形AEGH和BEGC也是平行四边形，EG=AH=BC=2。CG=BE=AB-AE=AC-CF=AF。在EAF与FCG中，AE=CF，EAF=FCG，AF=CG，所以EAFFCG。于是EF=FG。 因2EF=EF+FGEG=2，故EF1.例6如图,在等腰ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连
9、结DE,恰有AD=BC=CE=DE。.求证:BAC=100.证明 由图及已知条件，ADE中，AD=ED, ADE为等腰三角形，其底角EAD必为锐角，所以等腰三角形ABC中，BAC为钝角，必是顶角。所以AB,AC是腰，有AB=AC。过C作AD的平行线，与过D所作BC的平行线交于点F，连结EF, 易知BCFD为平行四边形,因此DB=CF,BC=DF, EAD=ECF.在ADE与CEF中,AD=CE,AE=DB=CF, EAD=ECF, 所以ADECEF,于是 ED=EF. 但是ED=BC=DF，DEF是个对边三角形，EDF=60。设BAC=，则ADF=ABC=,DAE=180-，ADE= 180-2DAE =180-2(180-)=2-180. 由ADF+ADE=EFD=60,得+（2-180）=60，解得=100。即BAC=100.。例7在平行四边形ABCD的边AB，AD上向外形作两个正方形ABMX，ADNY。求证：对角线AC与两正方形的顶点X与Y的联线互相垂直。证明 ABMX，ADNY是正方形，ABCD是平行四边形， AX=AB=DC，AY=AD，XAB=YAD=90，ABDC。 XAY=180-BAD=4，AXYDCA，2=3， 1+3=90， 1+2=90，AHXY。
