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1、平面与平面判定一、选择题1下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )ABCD答案 B解析 对 ，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对，由于 a，b 分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对，因 为 不垂直于棱，所以是 错误的；是正确的，故选 B.点评 根据二面角的相关概念进行分析判定2以
2、下三个命题中，正确的命题有()一个二面角的平面角只有一个；二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A0 个B1 个C2 个D3 个答案 B解析 仅 正确3已知直线 l平面 ，则经过 l 且和 垂直的平面( )A有一个 B有两个C有无数个 D不存在答案 C解析 经过 l 的任一平面都和 垂直4已知 l ，m ，有下列四个命题： l m; l m；l m； lm .其中正确的命题是()A与 B与C 与 D答案 D解析 Error!ml， 正确否定 A、B，Error! ，正确否定 C，故选 D.5正方体 ABCDA 1B1
3、C1D1 的六个面中，与平面 BC1 垂直的面的个数是( )A1B2C3D4答案 D解析 与平面 BC1垂直的面有：平面 AC1，平面 AC1，平面 AB1，平面 CD1.6自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A相等 B互补C互余 D无法确定答案 B解析 如 图， BD、CD 为 AB、AC 所在平面与 、 的交线，则BDC 为二面角 l 的平面角且ABD ACD90，ABDC 180.7已知 ， 是平面，m、n 是直线，给出下列表述：若 m，m，则 ；若 m，n，m ，n ，则 ；如果 m，n，m，n 是异面直线，那么 n 与 相交；若 m，n m
4、，且 n，n ，则 n 且 n .其中表述正确的个数是()A1B2C3D4答案 B解析 是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中，m，n 不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以 不正确； 中，还可能 n，所以 不正确；中，由于nm，n，m， 则 n，同理 n，所以正确8正方体 A1B1C1D1ABCD 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1 BDA 的正切值等于 ()A. B. C. D.33 22 2 3答案 C解析 设 AC、BD 交于 O，连 A1O，BDAC，BDAA1，BD平面 AA1O，BDAO，A1OA 为 二面角的平面角tanA1OA ，选 C.A
5、1AAO 29在二面角 l 中，A，AB 平面 于 B，BC 平面 于 C，若 AB6，BC3，则二面角 l 的平面角的大小为()A30 B60C 30或 150 D60或 120答案 D解析 如 图， AB，ABl，BC，BCl，l平面 ABC，设平面 ABClD，则ADB 为二面角 l 的平面角或补角，AB 6，BC3，BAC30， ADB60，二面角大小为 60或 120.10ABCD 是正方形，以 BD 为棱把它折成直二面角ABDC，E 为 CD 的中点，则AED 的大小为( )A45 B30 C60 D90答案 D解析 设 BD 中点为 F，则 AFBD，CFBDAFC90， AF面
6、 BCDE、F 分别为 CD、BD 的中点，EFBC，BCCD，CDEF，又 AFCD，CD平面 AEF，CDAE.故选 D.二、填空题11下列四个命题中，正确的命题为_(填序号) ，则 ， ，则 ， ，则 ， ，则 答案 12在三棱锥 PABC 中，已知 PAPB，PBPC，PC PA，如右图所示，则在三棱锥 PABC 的四个面中，互相垂直的面有_对答案 3解析 PAPB， PAPC，PBPCP，PA平面 PBC，PA 平面 PAB，PA平面 PAC，平面 PAB平面 PBC，平面 PAC平面 PBC.同理可证：平面PAB平面 PAC.13如图所示，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，
7、BC2，AA 11，E ， F 分别在 AD 和 BC 上，且 EF AB，若二面角C1 EFC 等于 45，则 BF_.答案 1解析 AB平面 BC1，C1F平面 BC1，CF平面BC1，ABC1F，ABCF，又 EFAB，C1FEF，CFEF，C1FC 是二面角 C1EFC 的平面角，C1FC45，FCC1是等腰直角三角形，CFCC 1AA 11.又 BC2，BF BCCF211.14如图，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，且 PAABa.(1)二面角 APDC 的度数为_；(2)二面角 BPA D 的度数为_；(3)二面角 BPA C 的度数为_；(4)二面角 BPCD 的度数为_
8、答案 90 ；90 ；45；120解析 (1)PA 平面 ABCDPACD又 ABCD 为正方形，CD AD，CD平面 PAD，又 CD平面 PCD，平面 PAD平面 PCD，二面角 A PDC 为 90.(2)PA平面 ABCD，ABPA，ADPABAD 为二面角 BAPD 的平面角又BAD90，二面角 BAPD 为 90(3)PA平面 ABCD，ABPA，ACPABAC 为二面角 BPAC 的平面角又 ABCD 为正方形，BAC45即二面角 BPA C 为 45(4)作 BEPC 于 E，连 DE则由PBCPDC 知BPEDPE从而PBE PDEDEPBEP90，且 BEDEBED 为二面
9、角 BPCD 的平面角PA平面 ABCD，PABC，又 ABBC，BC平面 PAB，BCPB，BE a，BD aPBBCPC 63 2取 BD 中点 O，则 sinBEO ，BOBE 32BEO60，BED120二面角 B PCD 的度数为 120.三、解答题15(2012 江西卷)如图，在梯形 ABCD 中，AB CD，E，F 是线段 AB 上的两点，且 DEAB ，CFAB， AB12，AD 5，BC 4，DE4.现将ADE，CFB 分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两2点重合与点 G，得到多面体 CDEFG.(1)求证：平面 DEG 平面 CFG；(2)求多面体 CDEFG 的体积解
10、析 (1)由已知可得 AE3，BF4，则折叠完后EG 3，GF4，又因为 EF5，所以可得 EGGF，又因为 CF底面EGF，可得 CFEG，即 EG面 CFG 所以平面 DEG平面 CFG.(2)过 G 作 GO 垂直于 EF，GO 即为四棱锥 GEFCD 的高，所以所求体积为 S 正方体 DECFGO 55 20.13 13 12516在如下图所示的四面体 ABCD 中，AB，BC ，CD 两两互相垂直，且 BCCD.(1)求证：平面 ACD平面 ABC；(2)求二面角 CAB D 的大小分析 (1)转化为证明 CD平面 ABC；(2)CBD 是二面角 CABD 的平面角解析 (1)证明：
11、 CDAB，CDBC，ABBC B，CD平面 ABC.又CD平面 ACD，平面 ACD平面 ABC.(2)ABBC，ABCD，且 BCCDC，AB平面 BCD.ABBD.CBD 是二面角 CABD 的平面角在 RtBCD 中，BCCD，CBD45.二面角 CAB D 的大小为 45.17已知 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，PAAD，M 、N 分别是 AB、PC 的中点，求证：MN 平面 PAD；平面 PMC平面 PDC.解析 (1)取 PD 的中点 Q，连接 AQ、QNPNNC ，QN 綊 DC12四边形 ABCD 为矩形，QN 綊 AMMNAQ，又AQ平面 PAD，MN平面 PAD，
12、MN平面 PAD(2)PA平面 ABCD，PAD90PAD 为等腰直角三角形Q 为 PD 中点，AQ PDCDAD，CDPA，CD平面 PAD，AQ平面 PAD，CDAQ，AQ平面 PDC由MN AQ，MN平面 PDC，又MN平面 PMC，平面 PMC平面 PDC.18如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA .3(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 ABE P 的大小解析 (1)证明：如图 所示， 连接 BD，由 ABCD 是菱形且BCD60知， BCD 是等边三角形因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD，又 ABCD，所以 BEAB，又因为 PA平面 ABCD，BE平面 ABCD，所以 PABE.而 PAABA，因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.(2)由(1)知，BE 平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE.又ABBE，所以 PBA 是二面角 ABE P 的平面角在 RtPAB 中， tanPBA ，PBA60.PAAB 3故二面角 ABE P 的大小是 60.
