《2020-2021学年北师大版数学必修4课件-2.6-平面向量数量积的坐标表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年北师大版数学必修4课件-2.6-平面向量数量积的坐标表示（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6平面向量数量积的坐标表示,必备知识自主学习,1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示: 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则ab=_,x1x2+y1y2,2)模、夹角、垂直的坐标表示,思考】 (1)向量的坐标表示有何优点? 提示:向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算,而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单. (2)向量平行的充要条件是什么? 提示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0,2.直线的方向向量 (1)定义:与直线l_的非零向量m称为直线l的方向向量. (2)性质:给定斜率为k
2、的直线l的一个方向向量为m=_,共线,1,k,思考】 一条直线的方向向量有多少个?它们有什么联系? 提示:一条直线的方向向量有无数个,它们相互平行,基础小测】 1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”) (1)若两非零向量的夹角满足cos 0,则两向量的夹角一定是钝角. () (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 () (3)两向量a与b的夹角公式cos = 的使用范围是a0且 b0.(,提示:(1) .如a=(-1,-1),b=(2,2),显然cos = 0,但a与b的夹角是 180,而并非钝角. (2). (3) .两向量a与b的夹角公式cos = 有意义,需 0且 0,即a0,且b
3、0.此说法是正确的,2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=() A.-8B.-6C.6D.8 【解析】选D.因为a=(1,m),b=(3,-2), 所以a+b=(4,m-2), 又(a+b)b,所以34+(-2)(m-2)=0,解得m=8,3.(教材二次开发:例题改编)已知向量a=(3,4),b=(2,1),则向量a与b夹角的余 弦值为() 【解析】选A.由已知|a|= =5,|b|= ab=32+41=10. 设a,b的夹角为,所以cos,关键能力合作学习,类型一数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】 1.（2020北京高考）已知正方形ABCD的边长为2，点
4、P满足 则| |=_; =_. 2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC= 点E为BC的中点, 点F在边CD上,若 =3,则 的值是_. 3.已知向量a与b同向,b=(1,2),ab=10,求: (1)向量a的坐标.(2)若c=(2,-1),求(ac)b,解析】1.如图建系，则A（0,0），B（2,0），C（2，2），D（0,2），所以 =（2,0）， =（2，2）， =(2,1)，P(2,1)， =(2,1)，| | = ，又 =(0,1)，所以 =1. 答案：5-1,2.建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(3, ),D(0, ),E 设F(x, ),则 =(3,0
5、), =(x, ), 所以 =3x=3,x=1, 所以 =(-2, ), 又 所以 答案:,3.(1)因为a与b同向,且b=(1,2), 所以a=b=(,2)(0). 又因为ab=10,所以+4=10,所以=2, 所以a=(2,4). (2)因为ac=22+(-1)4=0, 所以(ac)b=0b=0,解题策略】 数量积运算的两个途径 (1)先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算. (2)先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 注意:对于以图形为背景的向量数量积的题目,注意把握图形特征,并写出相应点的坐标即可求解,类型二向量的平行、垂直问题(逻辑推理) 【典例】(2020成都高一检测
6、)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2, -2),C(4,1). (1)若 求点D的坐标. (2)设向量a= ,b= ,若ka-b与a+3b垂直,求实数k的值,解题策略】 已知向量的垂直关系求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数,跟踪训练】 已知向量a=(1,2),b=(2,k),若(2a+b)a,则k=_. 【解析】依题意2a+b=(2,4)+(2,k)=(4,4+k),由于(2a+b)a, 所以(4,4+k)(1,2)=4+8+2k=0,k=-6. 答案:-6,补偿训练】 设向量a=(3,3),b=(1,-1),若(a+b)(a-b)
7、,则实数=_. 【解析】因为a+b=(3+,3-),a-b=(3-,3+),因为(a+b)(a-b),所以(3+)(3-)+(3-)(3+)=0,解得=3. 答案:3,拓展延伸】已知向量平行求参数 利用两向量的平行的充要条件代入求解即可. 【拓展训练】 已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且ab,则|a+b|=_,解析】因为a=(1,2),b=(-2,t),且ab, 所以t-2(-2)=0,解得t=-4, 所以a+b=(-1,-2), 因此|a+b|= 答案,类型三向量的夹角问题(数学运算) 角度1向量夹角的求解 【典例】已知向量 则ABC=() A.30B.45C.60D.120 【思
8、路导引】先求出 与 的数量积,再求出这两个向量的模,然后利用 公式cosABC= 求解,解析】选A.由题意可得 = | |=| |=1,所 以cosABC= 所以ABC=30,变式探究】 a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于 () 【解析】选C.设b=(x,y),a,b的夹角为, 则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),解得x=-5,y=12, 故b=(-5,12).cos,角度2已知夹角求参数 【典例】已知a=(-2,-1),b=(,1),若a与b的夹角为钝角,则实数的取值范围为_. 【思路导引】由题意得出ab0且a与b不共线,利用向量
9、的坐标运算可求出实数的取值范围,解析】由于a与b的夹角为钝角,则ab- 且2, 因此,实数的取值范围是 (2,+). 答案: (2,解题策略】 1.利用数量积求两向量夹角的步骤,2.已知夹角范围(锐角或钝角)求参数范围的步骤 利用向量的夹角求参数,解题时要找到其转化条件.设两个非零向量a与b的夹角为: 为锐角时,先求出ab0,然后排除共线. 为钝角时,先求出ab0,然后排除共线,题组训练】 1.已知向量a=(cos ,sin ),b=(1, ),若a与b的夹角为 则|a+b|= () A.2B. C. D.1,解析】选B.因为a=(cos ,sin ),b=(1, ), 所以|a|=1,|b|
10、= . 又|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2 =|a|2+2|a|b|cos +|b|2 =1+2 +3=7, 所以|a+b|=,2.已知a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45,则实数t=_,解析】因为a=(4,-3),b=(2,1), 所以a+tb=(2t+4,t-3), 所以(a+tb)b=5t+5. 又|a+tb|= |b|= ,(a+tb)b=|a+tb|b|cos 45, 所以5t+5= 整理得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3, 经检验知t=-3不成立,故t=1. 答案:1,课堂检测素养达标,1.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结
11、论中正确的是() A.|a|=|b|B.ab= C.(a-b)bD.ab 【解析】选C.因为a=(2,0),b=(1,1),所以|a|=2,|b|= ,故|a|b|,A错误; ab=(2,0)(1,1)=21+01=2,故B错误; 因为a-b=(1,-1),所以(a-b)b=(1,-1)(1,1)=0, 所以(a-b)b,故C正确. 因为21-010,所以a与b不共线,故D错,2.已知a=(-2,2),b=(0,3),则a与b的夹角等于_. 【解析】因为a=(-2,2),b=(0,3), 所以ab=-20+23=6,|a|= |b|= =3, 设a,b夹角为,所以cos = 又0,所以= .
12、答案,3.(教材二次开发:习题改编)已知平面向量a=(-2,m),b=(1, ),且(a-b)b, 则实数m的值为_. 【解析】a-b=(-3,m- ), 因为(a-b)b,所以-3+ (m- )=0,- +m- =0,m=2 . 答案:2,4.设a=(log2x,2),b=(1,-1),ab,则x=_. 【解析】因为向量a=(log2x,2),b=(1,-1), 又ab,所以log2x-2=0,所以log2x=2,x=4. 答案:4,5.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),求证ABC是锐角三角形. 【证明】由条件得 因为 =-4+3=-1 0,所以 , 的夹角是钝角,从而ABC为锐角.同理BCA,BAC也为锐角, 所以ABC是锐角三角形
