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1、分式复习讲义一、基本概念1.形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.2.整式和分式统称有理式, 即有理式二、分式的基本性质1.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示即是： （ 其中M是不等于零的整式）。注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的值是零，则分式没有意义。2.符号规则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。用式子表示即是： 三、运算法则1.乘法法则：2.除法法则：3.加减法则：（1） （2）4.乘方法则：（n为正整数，b）四、例题选讲例1.
2、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）； （2）； （3）； （4）.解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.练习1：1.下列各式中，；是整式的有 ，是分式的有 .2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？2a2+b， ， ， ， ， 例2.当取什么值时，下列分式有意义？（1）； （2）.分析：要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.解：（1）分母0，即1.所以，当1时，分式有意义.（2）分母20，即-.所以，当-时，分式有意义.例3.（1）当x为何值时，分式无意义？ （2）当x为何值时，分式的值为零？分析：判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，而不是讨论化简后
3、的分式；在分式中，若B=0，则分式无意义，若B0，则分式有意义；分式的值为零的条件是A=0且B0，两者缺一不可。解：（1）要使分式无意义，则需x2x2=0即：(x-2)(x+1)=0所以当x=2或x=1时，分式无意义； （2）要使分式的值为零，则需x+1=0，且x2+2x30，即：(x+3)(x-1)0 解得x=1所以当x=1时，分式练习2：1.若使分式的值为0，则的取值为_.2.如果分式的值为零，那么= .3.当 ，分式有意义。4.当分式表示一个整数时，可取的值共有 个。5.当x取何值时，下列分式有意义。（1）； （2）； （3）例4.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
4、，.分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，同时改变两个符号，分式的值不变.解： ; ; ; ; .例5.不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数.解：例6.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1） （2） （3）分析：由于要求分式的分子、分母的最高次项的系数是正数，而对分式本身的符号未做规定，所以根据分式的符号法则，使分式中分子、分母与分式本身改变两处符号即可。解：（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.说明：1. 分子与分母是多项式时，若第一项的符号不能作为分子或分母的符号，应将其中的每一项变号。2两个整式相除，所得的分式，其符号法
5、则与有理数除法的符号法则相类似，也同样遵循“同号得正，异号得负”的原则。练习3：1不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. (1) (2) （3) (4) 2. 不改变分式的值，使分子第一项系数为正，并且分式本身不带“-”号.（1） （2） （3）例7.约分：（1） （2）解：（1）原式= （2）原式=1例8通分（1），； （2），； （3），解：（1）与的最简公分母为a2b2， .（2）与的最简公分母为(x-y)(x+y)，即x2y2， . （3）与的最简公分母为x(x+y)(x-y)，即x3-xy2 = =练习4： 1.化简下列分式：（1）； （2）； （3） 2. 约分：（
6、1） （2）3.通分：（1） （2）例9计算：(1) ; (2)解：(1)原式=(2)原式=-=练习5：1.计算下列各题：（1）；（2）； （3）； （4）2.计算下列各题：（1） （2）（4） （5） 例10.计算：（1） （2）解：（1）原式= （2）原式说明：第（2）题中两个加项的分母不同，要先通分，化为同分母分式。为此，先找出它们的最简公分母。注意到=,所以最简公分母是。练习6：计算下列各题:(1) (2) （3）例11计算下列各题： （1）分析：（1）题只含分式的乘除运算，应先把除法化为乘法，再约分；（2）题只含分式的加减运算，应先通分当分式的分子、分母是多项式时，必须先将多项式分解
7、因式注意到，所以最简公分母是解：（1）原式= = （2）原式=-+ = = = =例12.计算：（1） （2） 解：（1）原式=（2）原式= = =练习7：计算下列各题： (1) () （2） (3) (4)例13.解答下列各题： （1）先化简，再求值：x2），其中x=； （2）若=3，求的值 分析：（1）题求值应先分别把条件及所求代数式化简，再将化简后的条件代入化简后的式子中求值（2）题运用分配规律及整体代入的思想可使运算简便 解：（1）原式= = 3 =|32|=2-3当x=时，原式=（2）=3，2yx=3xy原式=.练习8： 1.先化简，再求值：（其中x=12.先化简，再求值：（），其中
8、x=20103.先化简，再求值：其中x24. 先化简，再求值：,其中5. 先化简，再求值：，其中6. 先化简，再求值： 其中，探究实践 【问题1】西瓜以千克计价，购买西瓜时，希望可食用的部分占整个西瓜的比例越大越好如果一批西瓜的皮厚都是d，试问买大西瓜合算还是买小西瓜合算？（把西瓜都看作球形，并设西瓜瓤内物质的密度分布是均匀的，v球=R3）解：设西瓜的半径为R，则可以食用部分的半径为R-d，可以食用部分与整个西瓜的体积的比为：= 因为d为常数，可见R越大，越小，1越大，从而可以食用部分占整个西瓜的比越大，所以说购买大西瓜更合算【问题2】阅读并计算下列各式：； 猜想：评析：把一分式“分解”为两个
9、分式的代数和的形式能使得运算简捷，体现了式的恒等变换的重要功能五.分式方程及其解法 1分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程.2. 分式方程的解法（1）去分母法的步骤：去分母法：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； 解这个整式方程； 把整式方程的根代入最简公分母中检验，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母进行运算. (2)换元法 用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后再求出原来的未知数例1：解方程：=2解：去分母，方程两边同乘以x
10、3,得：2x=12（x3）解这个方程，得x=3. 检验：把x=3代入公分母（x3）中，公分母x3的值为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根. 原方程无解.例2：解方程：（1）=； （2）+=2.解：（1）去分母，方程两边同乘以x（x1），得：3x=4（x1）解这个方程，得x=4检验：把x=4代入x（x1）=43=120， 原方程的根为x=4.（2）去分母，方程两边同乘以（2x1），得105=2（2x1）解这个方程，得x=检验：把x=代入原方程分母2x1=21=0. 原方程的根为x=.例3：若关于x的方程=有增根，求m的值.分析：首先增根是分式方程转化为整式方程时所得到的
11、整式方程的根，其次增根又是使最简公分母为零的数。关于x的方程=有增根，则此增根必使3x9=0，即必有3（x3）=0，所以增根必定为x=3.解：去分母，方程两边同乘以3（x3），得：3（x1）=m2.根据题意，x=3是上面整式方程的根， 3（31）=m2, m=.例4：解方程+=7解：设=y；则.于是原方程变形为： 方程两边都乘以y，约去分母整理得：2y2-7y+6=0 解这个方程得：y1=2；y2=当y1=2时，=2，去分母并整理得：x2-2x-1=0解得：当y2=时，=，去分母并整理得：x2-3x-1=0解得：检验：把，分别代入原方程的分母中，因为各个分母都不等于零，所以它们都是原方程的根.
12、原方程的根是：；.例5：解方程 解：设=y；则原方程变形为： 解这个方程得：解这个方程得：y1=-2；y2=-3 当y1=-2时，=-2，去分母并整理得：3x=-2 解方程得：当y2=-3时，=-3，去分母并整理得：4x=-3 解方程得：检验：把；分别代入原方程的分母中，因为各个分母都不等于零，所以它们都是原方程的根.原方程的根是：；. 基础练习1用换元法解分式方程时，设y，原方程变形为（）（A）y23y10 （B）y23y10 （C）y23y10 （D）y2y302用换元法解方程x28x23，若设y，则原方程可化为（）（A）y2y120 （B）y2y230 （C）y2y120 （D）y2y34=03若解分式方程产生增根，则m的值是（）（A）1或2（B）1或2（C）1或2（D）1或24解方程1时，需将方程两边都乘以同一个整式约去分母，所乘的这个整式为（）（A）x1 （B）x（x1） （C）x （D）x15先阅读下面解方程x2的过程，然后填空. 解：（第一步）将方程整理为x20；（第二步）设y，原方程可化为y2y0；（第三步）解这个方程的 y10，y21（第四步）当y0时，0；解得 x2，当y1时，1，
