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1、第三单元 第19课时函数的综合知识点回顾：知识点一：分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其函数关系式(或图象)也不同的函数，如分段计费问题，实际上是复合函数问题。 分段函数的应用题解答时需分段讨论、分段计算。例1.(2009年吉林省)A、B两地相距45千米，图中折线表示某骑车人离A地的距离y与时间x的函数关系有一辆客车9点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶，并往返于A、B两地之间(乘客上、下车停留时间忽略不计)(1)从折线图可以看出，骑车人一共休息 次，共休息 小时；(2)请在图中画出9点至15点之间客车与A地距离y随时间x变化的函数图象；(3)通过计算说明，何时骑车人与
2、客车第二次相遇y/千米453010111213141590x/时【解析】(1)无论是观察函数图象、写出函数关系式，还是解决函数问题，弄清变量的含义是关键。本题中y表示“骑车人(客车)与A地距离”， 骑车人休息时时间x增大而y值不变。(2)从实际看“骑车人与客车相遇”是在相同的时间骑车人与客车与A地的距离相同，从图象看是两函数图象的交点。【解答】(1)两，两；(2)见下图：y/千米453010111213141590x/时FE(3)设直线所表示的函数解析式为把分别代入，得：，解得直线所表示的函数解析式为把代入得答：10点40分骑车人与客车第二次相遇.同步检测：(2009年湖北孝感) 5月份，某品
3、牌衬衣正式上市销售5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0设该品牌衬衣的日销量为p(件)，销售日期为n(日)，p与n之间的关系如图所示(1)写出p关于n的函数关系式p = (注明n的取值范围)；(2)经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？(3)该品牌衬衣本月共销售了 件【解析】(1)函数图象是折线，有两支，因此p关于n的函数关系式有两种，是分段函数。销售日期n为正整数，因此
4、函数图象是一些离散的点。(2)由“衬衣的日销量超过150件”，即两支函数的函数值大于150，列不等式求解。【解答】(1)；(2)由题意，有：解得， ，整数n的值可取7，8，9，20共14个该品牌衬衣本月在市面的流行期为14天(3)4335件知识点二：借助函数与方程、不等式求极值问题在实际问题中通过建立一次函数以刻画数量关系，再利用不等关系得一个变量的极端值，利用一次函数的增减性求另一变量的极值，从而找到最佳方案。例2.(2009年湖北恩施)某超市经销、两种商品，种商品每件进价20元，售价30元；种商品每件进价35元，售价48元(1)该超市准备用800元去购进、两种商品若干件，怎样购进才能使超市
5、经销这两种商品所获利润最大(其中种商品不少于7件)？(2)在“五一”期间，该商场对、两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打八折超过400元售价打七折促销活动期间小颖去该超市购买种商品，小华去该超市购买种商品，分别付款210元与268.8元促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？【解析】(1)超市经销两种商品所获利润随A、B两种商品的件数发生变化，即与两个变量有关，联想解方程时所用消元思想，因此寻找A、B两种商品的件数之间的另一关系(准备用800元去购进、两种商品)建立方程，结合二者关
6、系得得润与种商品件数的关系。(2)促销期间小颖、小华去该超市购买、种商品付款210元与268.8元，关键是分析他们是否享受优惠方案、享受了哪种优惠方案。【解答】(1)解：设购进A、B两种商品分别为件、件 ，所获利润元，则： 解之得： 是的一次函数，随的增大而减少，又y是大于等于7的整数，且x也为整数，当时，最大，此时所以购进A商品26件，购进B商品8件才能使超市经销这两种商品所获利润最大(2)3000.8=240 4000.7=280210240, 240268.8280小颖去该超市购买A种商品未超过300元不优惠，小华去该超市购买B种商品超过300元且不超过400元，售价打八折。小颖去该超市
7、购买A种商品:21030=7(件)小华去该超市购买B种商品:268.80.848=7(件)小明一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品：730748=546400小明付款为：5460.7=382.2(元)答：小明付款382.2元同步检测：(2009年辽宁朝阳)某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表设租用甲种客车辆，租车总费用为y元甲种客车乙种客车载客量(人/辆)4530租金(元/辆)280200(1)求出y(元)与(辆)之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；(2)若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预
8、支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？【解析】(1)问题2中隐含了两个不等关系租车总费用不超过预支租车费用1650元，载客量不少于240，由此得到租车方案，以计算租车费用是否可以结余。(2)结余的多少，可利用一次函数的增减性求解，也可分别求函数值再予以比较。【解答】(1)(2)可以有结余，由题意知解不等式组得：预支的租车费用可以有结余取整数 取4或5 随的增大而增大当时，的值最小其最小值元最多可结余=130元知识点三：与二次函数有关的最优化问题在实际问题或数学问题中建立二次函数模型后，利用二次函数的最大(小)值可求有关最值和最优方案等问题。例3.(改
9、编2009年包头市)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数，且时，；时，(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润恰好是500元，试确定销售单价是多少元？【解析】(1)根据一次函数解析式的特征，直接根据题意列出二元一次方程组，就可以求出一次函数的解析式。(2)在确定函数关系式时，特别注意自变量的取值范围，由本题中“试销期间销售单价不低于成本单价”得60，由“获
10、利不得高于45%”得(145%)60，即87，因此。对于求出二次函数的最值问题，同时要考虑在自变量的取值范围；(3)这个问题是把二次函数问题转化为一元二次方程来考虑，要注意的是求出的结果必须要在二次函数的自变量的取值范围内。【解答】(1)根据题意得解得所求一次函数的表达式为(2) ，抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元(3)由，得，整理得，解得，因为，所以，销售单价【评注】在二次函数中通过求函数的最大(小)值以解决求实际问题的最大利润、最优方案等，首先考虑利用二次函数y=ax2bxc当x=时，y取最大(小)值来求，但当
11、x=不在自变量的取值范围时，可利用二次函数的增减性由一个变量的极端值求另一变量的极值。同步检测:(改编2009年重庆市)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系，去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月 份1 月5 月销售量3.9万台4.3万台(1)求去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系式。(2)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？【解析】月销往农村的销售金额等于每台的售价y乘以月销售量p，而，p(万台)与月份x之间成一次函数关系，两者结合可写出利润与销售单价之间的关系
12、式。【解答】(1)设与的函数关系为，根据题意，得解得所以，(2)设月销售金额为万元，则：化简，得，所以，当时，取得最大值，最大值为10125答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元知识点四：存在探索性函数问题存在型探索题是指在一定的前提下，需探索某种数学关系是否存在解存在性探索题常用反演推理法，即先假设要探索的问题的结论成立，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论例4.(2009年湖南郴州)如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(2，)，且P(，2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y
13、轴，垂足分别是A、B(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值图1图2【解析】(1)先假定直线MO上存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等。利用点Q在正比例函数图象上设Q的坐标，再通过方程有无实数解确定是否存在。(2)在动点问题中分清变量与常量，确定自变量与因变量，寻找其对应关系，再利用函数性质求解。【解答】(1)设正比例函数解析
14、式为，将点M(2，1)坐标代入得，所以正比例函数解析式为 同样可得，反比例函数解析式为(2)当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为， 于是： ，而，所以有，解得所以点Q的坐标为和(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQPC，而点P(，)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，所以当即时，有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2由勾股定理得OP，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是【点评】在函数问题中注意到数形结合，利用点的坐标表示线段的长度，从而表示相关几何量(如面积)同步检测：(2009年安徽芜湖)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到(1)如图，一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线解析式；32112AOBxy(2)设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值【解析】函数是用运动的观点观察事物发展的全过程，利用函数的性质可求最大(小)值。在问题2中，用分割方法把四边形分成四
