《2020-2021学年高中北师大版数学选修课件-2.3-计算导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年高中北师大版数学选修课件-2.3-计算导数（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3计 算 导 数,1.导函数的定义 对于函数f(x)在区间上的每一点x处,满足: (1)导数f(x)存在. (2)f(x)是关于x的函数,且f(x)= , 称f(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数,必备知识自主学习,思考】 对于函数f(x),如何求f(1)、f(x)?f(x)与f(1)有何关系? 提示:f(1)= . f(x)= . f(1)可以认为把x=1代入导数f(x)得到的值,2.导数公式表,思考】 (1)若函数f(x)=22,那么f(x)=22=4成立吗? 提示:不成立.因为f(x)=22=4是常数函数,所以f(x)=0. (2)若函数f(x)= ,那么f(x)= 成立吗? 提示
2、:不成立.f(x)=,基础小测】 1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”) (1)函数f(x)与f(x)的定义域相同.() (2)求f(x0)时,可先计算出f(x0),再对f(x0)求导.() (3)求f(x0)时,可先求出f(x),再求f(x)在x=x0处的函数值.(,提示:(1).因为f(x)是f(x)的导数,所以二者的定义域相同. (2).应先求函数f(x)的导数f(x),然后把x=x0代入可求f(x0). (3).f(x0)的意义是函数f(x)的导数f(x)在x=x0的函数值,所以正确,2.已知f(x)=x4,则f(2)等于() A.0B.2xC. 32D. 64 【解析】选C.因为f(
3、x)=x4,所以f(x)=4x3,所以f(2)=32,3.设f(x)=ln x,若f(x0)=3,则x0=() A.e3B.3C. D.ln 3 【解析】选C.f(x)=ln xf(x)= ,f(x0)=3 =3x0=,关键能力合作学习,类型一利用导数公式求导数 【典例】求下列函数的导数. (1)y=sin ;(2)y= ;(3)y=log3x;(4)y= . 【思路导引】根据求导公式计算,若不符合求导公式的形式,则需通过变形转化 为能够利用公式的形式,解析】(1)y=0. (2)因为y= = ,所以y= = = . (3)y=(log3x)= . (4)因为y= = =tan x, 所以y=
4、(tan x)=,题后反思】 如何利用求导公式求函数的导数? 提示:对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式,要想在解题过程中应用自 如,必须做到以下两点:一是正确理解.如sin = 是常数,而常数的导数一定 为零,就不会出现 =cos 这样的错误结果.二是准确记忆,灵活变形.如 根式、分式可先转化为指数式,再利用公式求导,解题策略】 求简单函数的导函数的基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式,跟踪训练】 1.若f(x)= ,则f(x)=. 【解析】因为
5、f(x)= =2 = (x0), 所以f(x)= = =- . 答案:,2.求下列函数的导数. (1)y=(1- ) + .(2)y=x13. 【解析】(1)因为y=(1- ) + = = ,所以y=- . (2)y=(x13)=13x13-1=13x12,类型二利用导数公式求切线的方程 角度1利用导数求切线的方程 【典例】已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程,若没有,说明理由. 【思路导引】设出切点坐标,根据导数的几何意义,利用求导公式求出其斜率,根据垂直关系计算,解析】因为y=(x2)=2x,假设存在与直线PQ垂直的切线
6、. 设切点为(x0,y0),由PQ的斜率为k= =1, 而切线与PQ垂直,所以2x0=-1,即x0=- . 所以切点为 . 所以所求切线方程为y- =(-1) , 即4x+4y+1=0,变式探究】 在应用导数求切线的方程时,一般要先求导,利用切点在切线上,又在曲线上,列方程组求解,应用的数学素养是数学运算. 若本例题条件不变,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程,解析】因为y=(x2)=2x,设切点为M(x0,y0), 由PQ的斜率为k= =1, 而切线平行于PQ,所以2x0=1,即x0= , 所以切点为M . 所以所求切线方程为y- =x- ,即4x-4y-1=0,角度2利用导数求解参数
7、问题 【典例】若曲线f(x)= ,g(x)=xa在点P(1,1)处的切线分别为l1,l2,且l1l2, 则a的值为() A.-2 B.2 C. D.- 【思路导引】分别求出f(x)、g(x),利用导数的几何意义.结合l1l2求a,解析】选A.由题意可知f(x)= ,g(x)=axa-1, 因为l1,l2为在点P(1,1)处的切线,所以 =f(1)= , =g(1)=a. 又l1l2,所以 = a=-1,故a=-2,解题策略】 1.解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上 这三个条件联立方程解决. 2.解决利用导数公式
8、求解参数问题的关键是设出切点,根据导数的几何意义表示出切线的斜率,进一步写出切线方程,跟踪训练】 1.曲线y=ln x在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为() A.(e,1) B.(1,0) C. D.(e2,2) 2.若直线l过点A(0,-1)且与曲线y=x3相切于点B,求B点坐标,解析】1.选B.设A点的坐标为(x0,ln x0),y=ln xy= k= 由题意可知,切线与直线x-y+1=0平行,所以 =1x0=1, 所以点A的坐标为(1,0). 2.y=3x2,设B(x0, )(x00),则切线斜率k=3 . 又直线l过点(0,-1),所以k= .所以3 = , 所以2
9、 =1,所以x0= , = ,所以B,类型三导数的综合应用 【典例】1.质点做直线运动的方程是s= ,则质点在t=3时的速度是(位移单位:m,时间单位:s)() A. B. C. D. 2.曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为() A.30B.45C.60D.120,思路导引】1.根据导数的物理意义求解,即函数在某点处的导数等于质点运动的瞬时速度. 2.根据导数的几何意义和等腰三角形的性质构建方程,求出切点坐标,即可求解,规范解答】1.选A.因为s= = ,所以s= ,当t=3时, s= = . 2.选C.方法一:设B(x0
10、, ),则kOB=tanAOB= , 因为AB=AO,所以BAx=2BOA,曲线y=x3在B处切线斜率kAB=3 =tanBAx=tan 2BOA= , 所以 = ,所以kAB= ,所以切线l的倾斜角为60,方法二:设B(x0, ),由于y=3x2,故切线l的方程为y- =3 (x-x0), 令y=0得点A , 由|OA|=|AB|得 = +( -0)2, 当x0=0时,题目中的三角形不存在, 故得 = ,故 = , 直线l的斜率k=3 = ,故直线l的倾斜角为60,题后反思】 导数在实际生活中可能涉及的领域有哪些? 提示:物理中的速率问题、化学中的变化率问题等,解题策略】 导数综合应用的解题
11、策略 (1)导数在实际问题中的应用非常广泛,如运动物体在某一时刻的瞬时速度等,解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义,准确求出导数. (2)利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是正确确定切线的斜率,进而求出切点坐标,跟踪训练】 若直线l与曲线y=x3在第一象限相切于某点,切线的斜率为3,求直线l与坐标轴围 成的三角形面积. 【解析】设切点为(x0, )(x00),则该切线斜率为3 , 所以3 =3,x0=1,则切点为(1,1). 所以直线l的方程为y-1=3(x-1). 所以直线l与坐标轴的交点分别为(0,-2), , 所以直线l
12、与坐标轴围成的三角形面积S= |-2| =,课堂检测素养达标,1.函数y=3x在x=2处的导数为() A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3 【解析】选C.y=(3x)=3xln 3,故所求为9ln 3,2.已知f(x)=cos x,f(x)=-1,则x等于() A. B.- C. +2k,kZ D.- +2k,kZ 【解析】选C.f(x)=-sin x,则sin x=1, 所以x= +2k,kZ,3.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR)图像上任意一点处的切线的斜率都小于1,则实数a的取值范围是. 【解析】由题意f(x)=-3x2+2ax, 当x= 时,f(x)取到最大值,是 . 所以 1,解得- a . 答案:- a,4.在曲线y= 上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为. 【解析】设P(x0,y0),y=- ,则- =-4, 得x0= .当x0= 时,y0=2. 当x0=- 时,y0=-2, 所以点P的坐标为 或 . 答案: 或,5.求下列函数的导数. (1)y=x12;(2)y= ;(3)y= ;(4)y=5x. 【解析】(1)y=(x12)=12x11. (2)y=( )=(x-4)=-4x-5= . (3)y=( )=( )= . (4)y=(5x)=5xln 5
