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1、沧源民族中学 高二年级 数学选修12教学设计 2011.04.18 第十周第二章 推理与证明2.2.3 间接证明之反证法主备教师：穆云映课时计划：2节课一、内容及其解析：反证法的理论依据是逻辑规律中的排中律；一个事物或者是A，或者是非A，二者必居其一。反证法即是证明结论的反面正确。由于互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，原命题为真时，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可以转换为证明它的逆否命题成立。本节课教学重点是理解反证法的推理依据；掌握反证法证明命题的方法；反证法证明题的步骤。教学难点是理解反证法的理论依据和方法。二、目标及其解析教学目标：1、反证法的概念2、反证法证明题的
2、基本方法目标解析：1、一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2、反证法证明题的步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾。（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确。三、问题诊断分析学生从初中开始就对反证法有所接触，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但是学生的逆向思维训练和发展都是不充分的。四、教学支持条件分析的叙述方法举例在本节课综合法的教学中，准备使用多媒体教学。五、教学过程
3、：问题一：什么叫做反证法？问题1：在学习命题的知识时，我们主要学习了哪些词的否定？正面词等于大于小于是都是至少一个至少n个否定不等于不大于（大于或等于）不小于（大于或等于）不是不都是一个也没有至多n-1个设计意图：让同学们能回忆起某些特殊词的否定，为后面的题目做铺垫。问题2：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数应该不超过8个，这与球的总数是9矛盾。因此，不论怎样染，至少有5个球是同色的。设计意图：让学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在。问题3：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法
4、和分析法相同吗？不同。设计意图：让学生了解反证法是与直接证明不同的一种方法。问题4：上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？反证法设计意图：让学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法。问题5：你能总结一下什么叫做反证法吗？一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。设计意图：让学生掌握反证法的定义。问题6：有反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？反证法证明题的步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾。（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确。设计
5、意图：让学生掌握反证法证明题目的步骤。问题二：你能用反证法来证明数学题吗？问题7：如何证明下面的题目？例1、 课本第42页，例题7.变式训练：用反证法证明：一个三角形内，不能有两个钝角一个三角形内，不能有两个钝角例2、课本第43页，例题8变式训练：平面交平面于直线a，直线b在平面内，直线c在平面内， 求证：是异面直线证明：假设不是异面直线，则平行或相交 若矛盾 六、本课小结本节主要学习了反证法的理论依据、反证法的思想方法、反证法的解题步骤以及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需以后随着进一步的学习深入，逐步加强和提高。七、目标检测1、下面叙述正确的是（ A）A综合法、分析法是直接证明
6、的方法B综合法是直接证法、分析法是间接证法C综合法、分析法所用语气都是肯定的D综合法、分析法所用语气都是假定的2、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）（1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论A、（1）（2） B、（1）（2）（4） C、（1）（2）（3） D、（2）（3）3、命题“三角形ABC中，若”的结论的否定应该是（ ）A、 B、 C、 D、4、命题“关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A、无解 B、两解 C、至少两解 D、无解或至少两解5、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）A、有两个内
7、角是直角 B、有三个内角是直角C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角八、配餐作业 A组题6、对一个命题的证明，下列说法错误的是（D ）若能用分析法，必能用综合法若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法若用直接证法难度较大时，可考虑反证法用反证法就是要证结论的反面成立7、设则（ D ） A都不大于 B都不小于 C至少有一个不大于 D至少有一个不小于，三者不能都小于8、设函数中，均为整数，且均为奇数。 求证：无整数根。证明：假设有整数根，则 而均为奇数，即为奇数，为偶数，则同时为奇数；或同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与矛
8、盾。 无整数根。B组题9、已知：，求证：（1）；（2）中至少有一个不小于。（1）证明： （2）假设都小于，则，即有 由（1）可知，与矛盾，假设不成立，即原命题成立10、已知均为实数，且， 求证：中至少有一个大于。证明：假设都不大于，即，得， 而， 即，与矛盾， 中至少有一个大于。C组题11、已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 三个方程中都没有两个相异实根 证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由题意a、b、c互不相等，式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
