《(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结等差数列、等比数列》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结等差数列、等比数列(14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列、等比数列【高考考情解读】高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式:1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题,属于基础题;2.以解答题的形式考查,主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题,考查用数列知识分析问题、解决问题的能力,属低、中档题1 an与Sn的关系Sna1a2an,an2 等差数列和等比数列等差数列等比数列定义anan1常数(n2)常数(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法:2an1anan2(n1)an为等差数列(
2、3)通项公式法:anpnq(p、q为常数)an为等差数列(4)前n项和公式法:SnAn2Bn(A、B为常数)an为等差数列(5)an为等比数列,an0logaan为等差数列(1)定义法(2)中项公式法:aanan2(n1)(an0)an为等比数列(3)通项公式法:ancqn(c、q均是不为0的常数,nN*)an为等比数列(4)an为等差数列aan为等比数列(a0且a1)性质(1)若m、n、p、qN*,且mnpq,则amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm,S2mSm,S3mS2m,仍成等差数列(1)若m、n、p、qN*,且mnpq,则amanapaq(2)anamqnm(3)等比数列
3、依次每n项和(Sn0)仍成等比数列前n项和Snna1d(1)q1,Sn(2)q1,Snna1考点一与等差数列有关的问题例1在等差数列an中,满足3a55a8,Sn是数列an的前n项和(1)若a10,当Sn取得最大值时,求n的值;(2)若a146,记bn,求bn的最小值解(1)设an的公差为d,则由3a55a8,得3(a14d)5(a17d),da1.Snna1a1n2a1na1(n12)2a1.a10,当n12时,Sn取得最大值(2)由(1)及a146,得d(46)4,an46(n1)44n50,Sn46n42n248n.bn2n5225232,当且仅当2n,即n5时,等号成立故bn的最小值为
4、32. (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差,只要根据已知条件求出这两个量,其他问题就可随之而解,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方程思想的运用(2)等差数列的性质若m,n,p,qN*,且mnpq,则amanapaq;Sm,S2mSm,S3mS2m,仍成等差数列;aman(mn)dd(m,nN*);(A2n1,B2n1分别为an,bn的前2n1项的和)(3)数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项,即SnAn2Bn(A2B20) (1)(2012浙江)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的
5、是()A若d0,则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项,则d0D若对任意nN*,均有Sn0,则数列Sn是递增数列(2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,则m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C(2)C解析(1)利用函数思想,通过讨论Snn2n的单调性判断设an的首项为a1,则Snna1n(n1)dn2n.由二次函数性质知Sn有最大值时,则d0,不妨设a11,d2,显然Sn是递增数列,但S110,d0,Sn必是递增数列,D正确(2)am2,am13,故d1,因为Sm0,故ma1d0,故a1,因为amam15,故amam12a1(2m1)d(m1
6、)2m15,即m5.考点二与等比数列有关的问题例2(1)(2012课标全国)已知an为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10等于()A7 B5 C5 D7(2)(2012浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22,S43a42,则q_.答案(1)D(2)解析(1)利用等比数列的性质求解由解得或或a1a10a1(1q9)7.(2)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解S4S2a3a43a22a3a43a42,将a3a2q,a4a2q2代入得,3a22a2qa2q23a2q22,化简得2q2q30,解得q(q1不合题意,舍去) (1)证明数列是等比数列的两个方
7、法:利用定义:(nN*)是常数,利用等比中项aan1an1(n2,nN*)(2)等比数列中的五个量:a1,an,q,n,Sn可以“知三求二”(3)an为等比数列,其性质如下:若m、n、r、sN*,且mnrs,则amanaras;anamqnm;Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列(q1)(4)等比数列前n项和公式Sn能“知三求二”;注意讨论公比q是否为1;a10. (1)(2013课标全国)若数列an的前n项和Snan,则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时,a11;当n2时,anSnSn1anan1,故2,故an(2)n1.(2)(2013湖北)已知Sn是等比数列an的前n
8、项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2a3a418.求数列an的通项公式;是否存在正整数n,使得Sn2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由解设等比数列an的公比为q,则a10,q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.由有Sn1(2)n.假设存在n,使得Sn2 013,则1(2)n2 013,即(2)n2 012.当n为偶数时,(2)n0.上式不成立;当n为奇数时,(2)n2n2 012,即2n2 012,则n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n2k1,kN,k5考点三等差数列、等比数列的综合应用例3已知等差数列an的
9、公差为1,且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn;(2)将数列an的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项,记bn的前n项和为Tn,若存在mN*,使对任意nN*,总有SnTm恒成立,求实数的取值范围解(1)由a2a7a126得a72,a14,an5n,从而Sn.(2)由题意知b14,b22,b31,设等比数列bn的公比为q,则q,Tm81()m,()m随m增加而递减,Tm为递增数列,得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2,故(Sn)maxS4S510,若存在mN*,使对任意nN*总有SnTm,则106. 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解
10、法(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题,求解时用等差(比)数列的相关知识,将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可 已知数列an满足a13,an13an3n(nN*),数列bn满足bn3nan.(1)求证:数列bn是等差数列;(2)设Sn,求满足不等式的所有正整数n的值(1)证明由bn3nan得an3nbn,则an13n1bn1.代入an13an3n中,得3n1bn13n1bn3n,即得bn1bn.所以数列bn是等差数列(2)解因为数列bn是首项为b131a11,公差为的等
11、差数列,则bn1(n1),则an3nbn(n2)3n1,从而有3n1,故Sn13323n1,则,由,得,即33n127,得1n4.故满足不等式0an为递增数列,Sn有最小值d0an为递减数列,Sn有最大值d0an为常数列(2)等比数列的单调性当或时,an为递增数列,当或时,an为递减数列4 常用结论(1)若an,bn均是等差数列,Sn是an的前n项和,则mankbn,仍为等差数列,其中m,k为常数(2)若an,bn均是等比数列,则can(c0),|an|,anbn,manbn(m为常数),a,等也是等比数列(3)公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2a1,a3a2,a4a3,成等比数列,且公比为q.(4)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比数列,其公差为qk.等差数列中连续k项的和成等差数列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差数列,公差为k2d.5 易错提醒(1)应用关系式an时,一定要注意分n1,n2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起(2)三个数a,b,c成等差数列的充要条件是b,但三个数a,b,c成等比数列的必要条件是b2ac.1 已知等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a