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1、2011年力学竞赛模拟题集1、质量为m的匀质梁AB水平放置。A端为固定铰支座，B端接柔绳，质量不计，该段柔绳跨过位置固定的圆柱体与放置在梁上质量为M的物块连接，物块与梁之间以及柔绳与圆柱体之间的静摩擦因数均为，ED段柔绳与AB平行，BC段柔绳与AB垂直。AB梁长为l，物块尺寸如图1a所示，高为b，宽为a。（1）试证明CB段柔绳上的拉力。（2）如果系统保持在图示水平位置平衡，试求物块中心距A端的最大距离d。 a) b) 图1解：（1）分析CD段柔绳，取微元体进行分析，如图1b所示列平衡方程 (1) (2)由式（1）得，由式（2）得所以 两边同时积分有 积分得（2）以物块为研究对象，假设物块处于滑
2、动临界状态此时恰好为翻到临界状态CB段柔绳的拉力以AB梁为研究对象 解得 2、杂技团表演平衡木杂技，在长为l的平衡木上站了n个体重相等的演员，且所有演员之间的间距相等。试求：该平衡木上最大弯矩的一般表达式？ 解：将该模型简化为简支梁，如图2所示，梁长为l，n个演员之间距离为，演员体重均为，则在AB两端约束反力均为。根据题意发现，最大弯矩总是发生在梁的中间处。 图2(1)如果演员总数是偶数个，则取中间截面截开，每侧作用有约束反力、个集中力，则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为：(2)如果演员总数是奇数个，则取中间截面截开，最大弯矩侧作用有约束反力、个集中力，则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为：一、
3、 烟囱定向爆破（40分）城市建设需要对废旧烟囱进行定向爆破拆除，在烟囱底部进行预处理，沿周边对称开挖两个导向洞，以便形成倾覆力矩。预定倾倒方向留置一段弧长约为1/4周长，在其上布设药孔并装药，实施起爆后，混凝土碎块飞散，钢筋基本完整，但竖向钢筋在烟囱自重作用下弯曲，然后烟囱顺此方向倾倒。1、 竖向钢筋为何弯曲，利用了材料的哪类力学性质？已知钢筋的直径为d，间距为a，比例极限为，烟囱的质量为m，试确定药孔区的最低分布高度。2、 一般烟囱高达数十米，可将其看作长为l的均质细杆，根部因为钢筋的牵连，可看作固定铰链，当烟囱与铅垂线成任意夹角时，请求惯性力简化的结果以及根部的约束力。3、 当根部开始断裂
4、时，烟囱还像刚体一样整体地下落，随着下落角度变大，转动角速度也变大，有时在倒塌的过程中在离根部约1/3长处发生二次断裂，且断裂从面向地面的一侧开始，从倒地后的现场来看，明显在断裂处有一空地无倒塌物。请根据相关力学原理建立模型描述。解：1、为保险起见，混凝土碎块飞散后，钢筋为两端固定的细长压杆根据欧拉公式：得其中（烟囱自重均匀分布在筒壁，每根钢筋平均分担压力）2、惯性力系向根部简化简化为： ，其中角速度和角加速度如下计算：据有，得而，分离变量后再积分得由，得，即由，得，即3、横截面上有动内力分量分别为：、力矩平衡得即：化简得：动弯矩最大时有：，即得此处二、孙悟空的如意金箍棒（40分）中国四大古典
5、名著的西游记中的孙悟空本领高强，神通广大，深得人们喜欢。尤其是他的兵器如意金箍棒，帮他大闹天宫，降妖除魔。传说该棒原为大禹治水时用作测江海之深的宝器，原来放在东海龙宫之中时，重一万三千五百斤（一公斤合二斤），有二丈长（一米合三尺，十尺合一丈），碗口粗细，一般饭碗的直径约合10厘米。1、 金箍棒的最大神奇之处在于可随意变化尺寸大小，如果金箍棒在变化过程中，保持总重量和尺寸比例不变。只考虑自重影响，强度控制条件，试分析在固定一端，分别竖直放置和水平放置两种情况下长度变化范围。如果保持密度和尺寸比例不变呢？2、 孙悟空和二郎神打斗之时，不提防太上老君自上扔下金刚琢，悟空本能地双手举棒迎接，金刚琢正好
6、垂直打中金箍棒中间，如金刚琢重为P，无初速自由落体，下落高度为H，孙悟空两手为刚度为k的弹簧支座，金箍棒的刚度系数为EI。试计算金箍棒中的最大挠度。3、 因被金刚琢击中，手中金箍棒被震脱手，从云端落下，设高度距离地面h，棒与水平面的夹角为，落地时棒的一端与光滑地面碰撞，恢复系数，则一次碰撞后金箍棒能弹起多高？再次与地面碰撞时，金箍棒与地面的夹角为多少？4、 孙悟空有时为了震慑对方，操起金箍棒，把山石打得粉碎，这个过程为典型的碰撞过程。悟空发现单手握棒击打时，只要控制好持棒位置和金箍棒击打石头的位置和方向，就能使手上的震动力很小或没有，试建立合适的力学模型并给出分析过程、结论。解：1、自重不变时
7、，竖立放置时：，水平放置时：， 综上，可得竖立放置时决定长度的极小值密度不变时，竖立放置时：，水平放置时：， 综上，可得水平放置时决定长度的极大值2、问题简化为梁的两端放在两个刚度为k的弹簧上，则梁跨中截面的静位移为：，动荷系数则3、 棒下落时作平动，有据碰撞时的冲量定理有，据相对质心的冲量矩定理，棒的质心和碰撞点的速度关系为：在竖直方向投影得：根据恢复系数的定义知综合可得，4、 棒打击石头与石头打击棒情况类似，建立如图所示坐标系，应用碰撞时的动量定理有，碰撞前后棒与石头无切向相对速度，则有，手中无碰撞冲量时，有，上式表明石头对棒的冲量应垂直于棒，根据冲量矩定理有考虑到速度关系有即碰撞点到手的
8、距离为此即为撞击中心，手握点为固定点，石头撞击棒点为K点，手中无撞击力。不难验证，手和撞击中心的位置互换后，结论相同。滑板小子周学生杰伦酷爱滑板运动，热衷挑战各种高难动作，人送雅号“滑板小子”。周学生身材匀称，体重50kg，滑板轮心距a = 0.65m，重量不计。周末，他滑至一条河边，河面宽为L = 3m，河上仅平铺木板一块（宽度130mm，厚18mm），斜坡倾角。如图1所示。（1）假设滑板滑行速度最大可达20 km/h，不计空气阻力，周学生能直接飞越过河到达对岸吗？（2）假设木板的，周学生前后对称站立于滑板上，他能乘滑板（双脚始终在上面）通过木板到达河对岸吗？为什么？（3）若无前后对称站立于
9、滑板的限制条件，他能乘滑板到达河对岸吗？为什么？ 图1解：（1）取周学生和滑板组成系统为研究的质点。由初始条件：t = 0时，x = z = 0，；积分可得上式消去t，得轨迹方程令z = 0，代入，解得 或 （舍去）因，周学生不能直接飞越过河到达对岸。（2）不计滑板和木板的重量，通过木板时系统的受力简图如图1。P为人的重量。图1图2人对称站立于滑板上，板AB的受力如图2所示，当C、D关于跨中对称时，支座约束力，所以，在此情况下，周学生不能乘滑板通过木板到达河对岸。.（3）人站立于滑板任意位置上，板AB的受力如图3所示，图3其中，当C、D关于跨中对称时，支座约束力， ， 板跨中截面弯矩M不随人体
10、位置调整而变化，所以，在此情况下，周学生仍不能乘滑板通过木板到达河对岸。溜溜球如图1所示，一个质量为m、外径为R的溜溜球静止放置在桌面上，设球对质心轴C的回转半径为，内径为r，绕在细绳上。在绳端施加方位角为的拉力F。不考虑滚动阻碍。（1） 若桌面光滑，试分析当时，溜溜球的滚动方向？（2）为多大时，可确保溜溜球只滑不滚？（3）若桌面光滑，溜溜球能否只滚不滑？其条件是什么？图1解：（1）在桌面光滑条件下，时，溜溜球的滚动方向均为逆时针。（2）溜溜球的受力分析见图2。 图2据刚体平面运动微分方程： 要求不滚，则，代入（1）式可得，要求滑动，则，即可。（3）要求只滚不滑，则。代入刚体平面运动微分方程，
11、消去与，得又因要求只滚不滑与桌面光滑程度无关，则， 因此，条件是，。38一、用手弹出一质量为、半径为的乒乓球，在地板上运动，使质心保持直线运动。质心的初速度为，转动初角速度为。假设乒乓球与地面的滑动摩擦系数为。（1） 求经过多长时间，乒乓球不再向前面运动？（2） 求乒乓球运动到最远距离后，不再向回滚动的条件。解答：（1） 积分： 当时，(2) 积分：将代入上式，得：当时，可以得：考虑到装动惯量代入上式得：二、如图所示，等直杆一端固定，另外一端受到沿轴线方向的集中力，大小为F，该杆半径为R；选用弹性模量为E、泊松比为=0.25的各向同性材料。为了加固该杆件，在实心杆的基础上套上一个厚度为的套筒（
12、R），套筒与杆件选用相同的材料，亦不考虑套筒与杆件之间的摩擦。如果所选用材料为脆性材料，许用压应力是许用拉应力5倍，试分析套筒能否使杆件承受更大的载荷。解：若杆件受到压力等于许用载荷为F，而套筒所受内力以拉应力为主，套筒所受拉应力是约是该材料的许用压应力的0.25倍，因此，增加套筒并不能提高实心杆的承载能力，相反必须降低许用载荷以确保套筒满足强度要求。四、某设计人员，设计一台单梁双吊龙门吊车（设计简图如图所示）,设计吊重为200kN（两个吊钩同时起吊，承载能力相同）,吊车跨度为2米，左右两吊钩最大行走距离为0.32米。该设计人员经过计算（忽略起吊冲击影响）选用横梁为No20a工字钢梁，截面尺寸
13、如图，材料的许用应力为150MPa。当设计员满怀希望将设计报告上交后，审核人员却发现该设计存在问题。 亲爱的朋友，请您帮助核实一下，1）该结构所涉及力学问题有哪些？2）画出其力学模型？3）请给出完整的设计过程，并分析该设计人员的设计思想可能在哪里出现问题？如何改进？解：（1） 弯曲强度，复杂应力状态（2） 计算简图如图（3）解：（一）画梁的剪力图和弯矩图 危险截面发生在C、D截面MC=32KNm ，QC=100KN（二）强度校核先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。a正应力强度校核（K1）点 b剪应力强度校核(K2)点 正应力和切应力强度条件均满足。 c校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。 由于钢梁为塑性材料，K3点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。 说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力，不能满足强度要求(有可能未涉及)。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在K3点处的强度。 一、墙上安装一块薄板，当重物放在薄板的较远处时，重物常常会滑出薄板。薄板近似可以看作为一悬臂梁AB，梁长L，抗弯刚度EI，重物C的重量为G，重物和梁的摩擦系数为，求：（1） 重物开始滑动的
