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1、2011年力学竞赛模拟题集1、质量为m的匀质梁AB水平放置。A端为固定铰支座,B端接柔绳,质量不计,该段柔绳跨过位置固定的圆柱体与放置在梁上质量为M的物块连接,物块与梁之间以及柔绳与圆柱体之间的静摩擦因数均为,ED段柔绳与AB平行,BC段柔绳与AB垂直。AB梁长为l,物块尺寸如图1a所示,高为b,宽为a。(1)试证明CB段柔绳上的拉力。(2)如果系统保持在图示水平位置平衡,试求物块中心距A端的最大距离d。 a) b) 图1解:(1)分析CD段柔绳,取微元体进行分析,如图1b所示列平衡方程 (1) (2)由式(1)得,由式(2)得所以 两边同时积分有 积分得(2)以物块为研究对象,假设物块处于滑
2、动临界状态此时恰好为翻到临界状态CB段柔绳的拉力以AB梁为研究对象 解得 2、杂技团表演平衡木杂技,在长为l的平衡木上站了n个体重相等的演员,且所有演员之间的间距相等。试求:该平衡木上最大弯矩的一般表达式? 解:将该模型简化为简支梁,如图2所示,梁长为l,n个演员之间距离为,演员体重均为,则在AB两端约束反力均为。根据题意发现,最大弯矩总是发生在梁的中间处。 图2(1)如果演员总数是偶数个,则取中间截面截开,每侧作用有约束反力、个集中力,则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为:(2)如果演员总数是奇数个,则取中间截面截开,最大弯矩侧作用有约束反力、个集中力,则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为:一、
3、 烟囱定向爆破(40分)城市建设需要对废旧烟囱进行定向爆破拆除,在烟囱底部进行预处理,沿周边对称开挖两个导向洞,以便形成倾覆力矩。预定倾倒方向留置一段弧长约为1/4周长,在其上布设药孔并装药,实施起爆后,混凝土碎块飞散,钢筋基本完整,但竖向钢筋在烟囱自重作用下弯曲,然后烟囱顺此方向倾倒。1、 竖向钢筋为何弯曲,利用了材料的哪类力学性质?已知钢筋的直径为d,间距为a,比例极限为,烟囱的质量为m,试确定药孔区的最低分布高度。2、 一般烟囱高达数十米,可将其看作长为l的均质细杆,根部因为钢筋的牵连,可看作固定铰链,当烟囱与铅垂线成任意夹角时,请求惯性力简化的结果以及根部的约束力。3、 当根部开始断裂
4、时,烟囱还像刚体一样整体地下落,随着下落角度变大,转动角速度也变大,有时在倒塌的过程中在离根部约1/3长处发生二次断裂,且断裂从面向地面的一侧开始,从倒地后的现场来看,明显在断裂处有一空地无倒塌物。请根据相关力学原理建立模型描述。解:1、为保险起见,混凝土碎块飞散后,钢筋为两端固定的细长压杆根据欧拉公式:得其中(烟囱自重均匀分布在筒壁,每根钢筋平均分担压力)2、惯性力系向根部简化简化为: ,其中角速度和角加速度如下计算:据有,得而,分离变量后再积分得由,得,即由,得,即3、横截面上有动内力分量分别为:、力矩平衡得即:化简得:动弯矩最大时有:,即得此处二、孙悟空的如意金箍棒(40分)中国四大古典
5、名著的西游记中的孙悟空本领高强,神通广大,深得人们喜欢。尤其是他的兵器如意金箍棒,帮他大闹天宫,降妖除魔。传说该棒原为大禹治水时用作测江海之深的宝器,原来放在东海龙宫之中时,重一万三千五百斤(一公斤合二斤),有二丈长(一米合三尺,十尺合一丈),碗口粗细,一般饭碗的直径约合10厘米。1、 金箍棒的最大神奇之处在于可随意变化尺寸大小,如果金箍棒在变化过程中,保持总重量和尺寸比例不变。只考虑自重影响,强度控制条件,试分析在固定一端,分别竖直放置和水平放置两种情况下长度变化范围。如果保持密度和尺寸比例不变呢?2、 孙悟空和二郎神打斗之时,不提防太上老君自上扔下金刚琢,悟空本能地双手举棒迎接,金刚琢正好
6、垂直打中金箍棒中间,如金刚琢重为P,无初速自由落体,下落高度为H,孙悟空两手为刚度为k的弹簧支座,金箍棒的刚度系数为EI。试计算金箍棒中的最大挠度。3、 因被金刚琢击中,手中金箍棒被震脱手,从云端落下,设高度距离地面h,棒与水平面的夹角为,落地时棒的一端与光滑地面碰撞,恢复系数,则一次碰撞后金箍棒能弹起多高?再次与地面碰撞时,金箍棒与地面的夹角为多少?4、 孙悟空有时为了震慑对方,操起金箍棒,把山石打得粉碎,这个过程为典型的碰撞过程。悟空发现单手握棒击打时,只要控制好持棒位置和金箍棒击打石头的位置和方向,就能使手上的震动力很小或没有,试建立合适的力学模型并给出分析过程、结论。解:1、自重不变时
7、,竖立放置时:,水平放置时:, 综上,可得竖立放置时决定长度的极小值密度不变时,竖立放置时:,水平放置时:, 综上,可得水平放置时决定长度的极大值2、问题简化为梁的两端放在两个刚度为k的弹簧上,则梁跨中截面的静位移为:,动荷系数则3、 棒下落时作平动,有据碰撞时的冲量定理有,据相对质心的冲量矩定理,棒的质心和碰撞点的速度关系为:在竖直方向投影得:根据恢复系数的定义知综合可得,4、 棒打击石头与石头打击棒情况类似,建立如图所示坐标系,应用碰撞时的动量定理有,碰撞前后棒与石头无切向相对速度,则有,手中无碰撞冲量时,有,上式表明石头对棒的冲量应垂直于棒,根据冲量矩定理有考虑到速度关系有即碰撞点到手的
8、距离为此即为撞击中心,手握点为固定点,石头撞击棒点为K点,手中无撞击力。不难验证,手和撞击中心的位置互换后,结论相同。滑板小子周学生杰伦酷爱滑板运动,热衷挑战各种高难动作,人送雅号“滑板小子”。周学生身材匀称,体重50kg,滑板轮心距a = 0.65m,重量不计。周末,他滑至一条河边,河面宽为L = 3m,河上仅平铺木板一块(宽度130mm,厚18mm),斜坡倾角。如图1所示。(1)假设滑板滑行速度最大可达20 km/h,不计空气阻力,周学生能直接飞越过河到达对岸吗?(2)假设木板的,周学生前后对称站立于滑板上,他能乘滑板(双脚始终在上面)通过木板到达河对岸吗?为什么?(3)若无前后对称站立于
9、滑板的限制条件,他能乘滑板到达河对岸吗?为什么? 图1解:(1)取周学生和滑板组成系统为研究的质点。由初始条件:t = 0时,x = z = 0,;积分可得上式消去t,得轨迹方程令z = 0,代入,解得 或 (舍去)因,周学生不能直接飞越过河到达对岸。(2)不计滑板和木板的重量,通过木板时系统的受力简图如图1。P为人的重量。图1图2人对称站立于滑板上,板AB的受力如图2所示,当C、D关于跨中对称时,支座约束力,所以,在此情况下,周学生不能乘滑板通过木板到达河对岸。.(3)人站立于滑板任意位置上,板AB的受力如图3所示,图3其中,当C、D关于跨中对称时,支座约束力, , 板跨中截面弯矩M不随人体
10、位置调整而变化,所以,在此情况下,周学生仍不能乘滑板通过木板到达河对岸。溜溜球如图1所示,一个质量为m、外径为R的溜溜球静止放置在桌面上,设球对质心轴C的回转半径为,内径为r,绕在细绳上。在绳端施加方位角为的拉力F。不考虑滚动阻碍。(1) 若桌面光滑,试分析当时,溜溜球的滚动方向?(2)为多大时,可确保溜溜球只滑不滚?(3)若桌面光滑,溜溜球能否只滚不滑?其条件是什么?图1解:(1)在桌面光滑条件下,时,溜溜球的滚动方向均为逆时针。(2)溜溜球的受力分析见图2。 图2据刚体平面运动微分方程: 要求不滚,则,代入(1)式可得,要求滑动,则,即可。(3)要求只滚不滑,则。代入刚体平面运动微分方程,
11、消去与,得又因要求只滚不滑与桌面光滑程度无关,则, 因此,条件是,。38一、用手弹出一质量为、半径为的乒乓球,在地板上运动,使质心保持直线运动。质心的初速度为,转动初角速度为。假设乒乓球与地面的滑动摩擦系数为。(1) 求经过多长时间,乒乓球不再向前面运动?(2) 求乒乓球运动到最远距离后,不再向回滚动的条件。解答:(1) 积分: 当时,(2) 积分:将代入上式,得:当时,可以得:考虑到装动惯量代入上式得:二、如图所示,等直杆一端固定,另外一端受到沿轴线方向的集中力,大小为F,该杆半径为R;选用弹性模量为E、泊松比为=0.25的各向同性材料。为了加固该杆件,在实心杆的基础上套上一个厚度为的套筒(
12、R),套筒与杆件选用相同的材料,亦不考虑套筒与杆件之间的摩擦。如果所选用材料为脆性材料,许用压应力是许用拉应力5倍,试分析套筒能否使杆件承受更大的载荷。解:若杆件受到压力等于许用载荷为F,而套筒所受内力以拉应力为主,套筒所受拉应力是约是该材料的许用压应力的0.25倍,因此,增加套筒并不能提高实心杆的承载能力,相反必须降低许用载荷以确保套筒满足强度要求。四、某设计人员,设计一台单梁双吊龙门吊车(设计简图如图所示),设计吊重为200kN(两个吊钩同时起吊,承载能力相同),吊车跨度为2米,左右两吊钩最大行走距离为0.32米。该设计人员经过计算(忽略起吊冲击影响)选用横梁为No20a工字钢梁,截面尺寸
13、如图,材料的许用应力为150MPa。当设计员满怀希望将设计报告上交后,审核人员却发现该设计存在问题。 亲爱的朋友,请您帮助核实一下,1)该结构所涉及力学问题有哪些?2)画出其力学模型?3)请给出完整的设计过程,并分析该设计人员的设计思想可能在哪里出现问题?如何改进?解:(1) 弯曲强度,复杂应力状态(2) 计算简图如图(3)解:(一)画梁的剪力图和弯矩图 危险截面发生在C、D截面MC=32KNm ,QC=100KN(二)强度校核先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。a正应力强度校核(K1)点 b剪应力强度校核(K2)点 正应力和切应力强度条件均满足。 c校核腹板和翼板交接处(K3)点的强度。 由于钢梁为塑性材料,K3点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。 说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力,不能满足强度要求(有可能未涉及)。必须增大工字钢的型号,才能满足钢梁在K3点处的强度。 一、墙上安装一块薄板,当重物放在薄板的较远处时,重物常常会滑出薄板。薄板近似可以看作为一悬臂梁AB,梁长L,抗弯刚度EI,重物C的重量为G,重物和梁的摩擦系数为,求:(1) 重物开始滑动的