《2010年北京西城区高考一模试题及答案(数学理)-B版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年北京西城区高考一模试题及答案(数学理)-B版（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷1至2页，第II卷3至5页，共150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回第I卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（西城理题1）1设集合，则下列结论正确的是（ ）A B C D【解析】 C；，（西城理题2）2函数的最小值和最小正周期分别是（ ）A B C D【解析】 A；（西城理题3）3设等差数列的前项和为，则等于（ ）A10 B12 C15 D30【解析】 C；，
2、于是，（西城理题4）4甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A B C D【解析】 B；，（西城理题5）5阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A B C D【解析】 D；，故输出（西城理题6）6某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A B16 C24 D32【解析】 C；将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法（西城理题7）7已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（ ）A B C D【解析】
3、C；如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为，小的等腰直角三角形区域为，由面积比知（西城理题8）8如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点下列判断正确的是（ ）A当时，两点不可能重合B两点可能重合，但此时直线与不可能相交C当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D当是异面直线时，直线可能与平行【解析】 B；若两点重合，由知，从而平面，故有，故B正确第II卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（西城理题9）9若，其中，为虚数单位，则 【解析】 3；（西城理题10）10已知，的夹角为60，则 【解析】 ；（西城理题11）11将
4、极坐标方程化成直角坐标方程为 【解析】 ；（西城理题12）12如图，切于点，割线经过圆心，弦于点已知的半径为3，则 【解析】 ；连结，知，于是，（西城理题13）13已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 【解析】 ；，设，又，故，于是，当时，取到最小值（西城理题14）14设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是 如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是 【解析】 ；的图象如下图左所示，要使得，有；时，恒有，故即可；由为奇函数及时的解析式知的图象如下图右
5、所示，由，故，从而，又时，恒有，故即可三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（西城理题15）15（本小题满分12分）已知为锐角，且求的值；求的值【解析】 ，所以，所以因为，所以，又，所以，又为锐角，所以，所以（西城理题16）16（本小题满分13）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；求该选手至多进入第三轮考核的概率；该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量
6、的分布列和期望【解析】 设事件表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知，设事件表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则；的可能取值为1，2，3，4，所以，的分布列为1234（西城理题17）17（本小题满分14分）在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，=90，求证：平面；求证：平面；设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为45【解析】 取的中点，连结，因为为中点，所以，且在梯形中，所以，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面平面底面，所以平面，所以如图，以为原点建立空间直角坐标系则，所以又由平面，可得，所以平面平面的法向量为，所以，设平面的法向
7、量为，由，得，所以，所以，注意到，得（西城理题18）18（本小题满分14分）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为求椭圆的方程；设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率【解析】 由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，令，解得设、两点的坐标分别为，）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得）当或为直角时，不妨设为直角，此时，所以，即又将代入，消去得，解得或（舍去），将代入，得所以，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和（西城理题19）19（本小题满分14分）已知函数，其中求函数的零点；
8、讨论在区间上的单调性；在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由【解析】 令，得，所以函数的零点为函数在区域上有意义，令得，因为，所以，当在定义域上变化时，的变化情况如下：所以在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上存在最小值，证明：由知是函数的零点，因为，所以由知，当时，又函数在上是减函数，且所以函数在区间上的最小值为，且所以函数在区间上的最小值为计算得（西城理题20）20（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列，如果（=1，2，3，）为完全平方数，则称数列具有“性质”不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：是的一个排列；数列具
9、有“性质”，则称数列具有“变换性质”设数列的前项和，证明数列具有“性质”；试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；对于有限项数列：1，2，3，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”【解析】 当时，又，所以所以是完全平方数，数列具有“性质”；数列1，2，3，4，5具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，数列1，2，3，11不具有“变换性质”，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，11不具有“变换性质”；设，注意到，令，由于，所以，又，所以，即，因为当时，数列具有“变换性质”，所以1，2，可以排列成，使得都是平方数另外，可以按相反顺序排列，即排列为，使得，所以1，2，可以排列成，满足都是平方数即当时，数列也具有“变换性质”
