《2021届新高考数学复习学与练1.2 全称量词与存在量词、充要条件（精讲解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届新高考数学复习学与练1.2 全称量词与存在量词、充要条件（精讲解析版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件【考纲要求】1理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义.(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.【知识清单】1. 充分条件与必要条件（1）若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若pq，且qp，则p是q的充分不必要条件；（3）若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；（4）若pq，则p是q的充要条件；（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件2. 全称量词与存在量词
2、（1）全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”（2）存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”3全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题（2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”
3、（3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定【考点梳理】考点一 充要条件的判定【典例1】（2020天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【典例2】（2020浙江省高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根
4、据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B【典例3】（2020北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 (1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，即或，亦即存在使得所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【典例4】（2017浙江省高考真题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可
5、知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【规律方法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，MN等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q
6、的必要条件【变式探究】1.（2019年高考天津理）设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.2.（2019北京高考真题（文）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】b=0 时，f(x)=cosx+bsinx=cosx, f(x)为偶函数；f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x)对任意的
7、x恒成立，f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cosx-bsinx cosx+bsinx=cosx-bsinx ，得bsinx=0对任意的x恒成立，从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.3.（2019年高考浙江）若a0，b0，则“a+b4”是 “ab4”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.4（2019北京高考真题（理）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）A充分
8、而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】ABC三点不共线,|+|+|-|+|2|-|20与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|”的充分必要条件,故选C.考点二：充分条件与必要条件的应用【典例5】（2019四川省树德中学高三月考（文）已知，若是的必要条件，则范围是_.【答案】【解析】由，又是的必要条件，解得，即的取值范围是，故答案为.【规律方法】1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区
9、间端点值的检验2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的”还是“p的是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断3.充分条件与必要条件的应用技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行
10、求解【变式探究】（安徽省江南片2019届高三开学联考）设：实数满足，：实数满足当时，若是的必要条件，求实数的取值范围【答案】【解析】当时，：，由得：或，所以：，因为是的必要条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.【特别警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误考点三：全称量词与存在量词【典例6】（2015浙江省高考真题（理）命题
11、“nN*,f(n)N*且f(n)n的否定形式是（ ）AnN*,f(n)N*且f(n)nBnN*,f(n)N*或f(n)nCn0N*,f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*,f(n0)N*或f(n0)n0【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“nN*,fnN*且fnn的否定形式是n0N*,fn0N*或fn0n0故选D.【典例7】（2018贵州凯里一中模拟）命题：，则为（ ）A ， B ， C ， D ， 【答案】A【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： ，故选A【典例8】有下列四个命题，其中真命题是（ ）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】对于选项A，令，则，
12、故A错；对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；对于选项C，令，则显然无解，故C错；对于选项D，令，则显然不成立，故D错.故选：B【典例9】（2020云南省高三三模（理）若“，”是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】 “”是真命题，；故答案为：【规律方法】1全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值xx0，使p(x0)不成立即可2特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就
13、是假命题3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4常见词语的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xA使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在x0A使p(x0)假【变式探究】1（2020全国高一课时练习）判断下列命题的真假：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【解析】（1）由于，都有，因而有因此命题“”是真命题（2）由于，而且当时，不成立因此命题“”是假命
14、题（3）由于，而且当时，有因此命题“”是真命题（4）由于使成立的数只有和，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3因此命题“”是假命题2（2020天津高三二模）命题“”的否定是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为命题“是特称命题，所以其否定为全称命题，即为命题：.故选：C3.（江西省新八校2019届高三第二次联考）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_【答案】【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，故答案为.【易错提醒】1命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论命题的否定与原
