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1、众志成城卧虎藏龙地豪气干云秣马砺兵锋芒尽露披星戴月时书香盈耳含英咀华学业必成黄浦区2018-2019学年高考模拟考数学试卷 一、填空题：1. 已知集合，若，则非零实数的数值是_【答案】【解析】由题，若 则 此时B集合不符合元素互异性，故 若则符合题意；若则不符合题意.故答案为22. 不等式的解集是_【答案】【解析】或.即答案为.3. 若函数是偶函数，则该函数的定义域是_【答案】【解析】因为函数是偶函数，则函数的定义域 解得 故函数的定义域为.及答案为.4. 已知的三内角所对的边长分别为，若，则内角的大小是_【答案】【解析】由已知，可得 由余弦定理可得故答案为.5. 已知向量在向量方向上的投影为
2、，且，则=_(结果用数值表示)【答案】【解析】由题向量在向量方向上的投影为，即 即答案为-6.6. 方程的解_【答案】【解析】 或（舍）即，解得即答案为2.7. 已知函数，则函数的单调递增区间是_【答案】【解析】由题函数 则函数的单调递增区间 解得 即函数的单调递增区间为.即答案为.8. 已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是_【答案】【解析】设 ，则 则 也是一元二次方程的一个虚数根， 实系数一元二次方程有虚数根， ，解得 的取值范围是故答案为【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档础题9. 已知某市
3、社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是_人【答案】【解析】根据题意可得抽样比为 则这次抽样调查抽取的人数是 即答案为140.10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是_(结果用数值表示)【答案】【解析】一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率 故答案为11. 已知数列是共有个项的有限数列，且满足，若，则_【答案】【解析】由题数
4、列是共有个项的有限数列，且满足，则 ，则 以上 各式子同向相加，将代入可得（舍）.故答案为50.12. 已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是_【答案】【解析】因为 恒成立， 所以 ，得 又，所以 所以 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，其中对所求式子的恒等变形是解题的关键和难点，属于难题二、选择题：13. 在空间中，“直线 平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】若“直线 平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”，正确；反之，若“直线与平面内无
5、穷多条直线都垂直 ”则“直线 平面”是错误的，故直线 平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件.故选A.14. 二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有 （ ）A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项【答案】B【解析】二项式式的展开式中，通项公式为 时满足题意，共71个故选B.15. 实数满足线性约束条件 则目标函数的最大值是（ ）A. 0 B. 1 C. D. 3【答案】D【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，然后平移直线 ，当直线 过点 时，最大值为6则目标函数的最大值是 故选D16. 在给出的下列命题中，是假命题的是（ ）A. 设是同一平面上的四个不同的点，若
6、，则点必共线B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【解析】由 则点必共线，故A正确；由平面向量基本定理可知B正确；由 可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C正确；故选D.三、解答题：17. 在四棱锥中，平面， ， (1)画出四棱锥的主视图；(2)若，求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示)【答案】（1）正视图见解析；（2）.【解析】试题分
7、析：(1)根据三视图的画法，画出四棱锥的主视图；(2) 如图所示建立空间直角坐标系，求出相应点和向量的坐标，求出平面平面的法向量，可求出直线与平面所成角的大小试题解析：(1)主视图如下： (2) 根据题意，可算得. 又， 按如图所示建立空间直角坐标系， 可得，. 于是，有 . 设平面的法向量为， 则即 令，可得，故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角的大小为，则. 所以直线与平面所成角的大小为.18. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)已知，线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度(1)求关于的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积
8、为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值【答案】（1）；（2）当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.【解析】试题分析：（1）更具体求出扇形的周长，即可得到关于的函数解析式；（2）根据扇形面积公式，求出函数解析式利用二次函数求出的值最大试题解析：(1)根据题意，可算得弧()，弧(). 又， 于是， 所以，. (2) 依据题意，可知 化简，得 . 于是，当(满足条件)时，(). 答 所以当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.19. 已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作直线交曲线于两点，若的面积(是坐标系原点)，求直线的方程.【答案】（1）；（
9、2）.试题解析：(1)结合题意，可得. 又，于是，化简得 . 因此，所求动点的轨迹的方程是. (2) 联立方程组 得. 设点，则 于是，弦， 点到直线的距离. 由，得 ，化简得 ，解得，且满足，即都符合题意. 因此，所求直线的方程为.20. 已知函数 (1) 求函数的反函数；(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程的三个实数根满足: ，且，求实数的值【答案】（1）；（2）存在点关于原点对称；（3）.【解析】试题分析：(1)根据分段函数的反函数的求法求出函数的反函数；(2)设点是函数图象上关于原点对称的点， 则，即， 解方程
10、求出，即可说明：函数图象上存在两点关于原点对称.(3) 根据函数与函数的图象，可得当时，且.；当时， ，于是，. 由，解得.，满足条件.因此，所求实数.试题解析：(1) 当时，.由，得，互换，可得. 当时，. 由，得，互换，可得. (2) 答：函数图象上存在两点关于原点对称.设点是函数图象上关于原点对称的点， 则，即， 解得舍去），且满足 . 因此，函数图象上存在点关于原点对称. (3) 考察函数与函数的图象，可得当时，有，原方程可化为，解得，且由，得.当时，有，原方程可化为，化简得，解得(当时，).于是，. 由，得，解得. 因为，故不符合题意，舍去；，满足条件.因此，所求实数.21. 定义：
11、若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：(1)若，求数列的通项公式；(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；(3)若，数列是等比数列，求的数值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：(1)根据题意，由，代入. 可求得， (2)由 ，代入， 可得，即可证明数列是首项为公差为的等差数列 (3).由题意可得). 由是等比数列，且，设公比为，则. 可证明当， 和时均不成立.故 ，(). 根据数列是等比数列，有.根据可化为，. 可知关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根.可证明，. 由，得. 把，代入可得. 试题解析：(1)根据题意，有. 由，得，. 所以，
