上海市静安区2013届高三数学一模试卷(文理卷-含答案)15页15页

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1、静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷(文理科合并) (试卷满分150分 考试时间120分钟) 2013.1一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1已知函数的最小正周期为,则正实数= .2等比数列()中,若,则 .3(理)两条直线和的夹角大小为 .(文)求和:= .()4(理)设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 .(文)同理35(理)某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地,在甲和乙两个风景点中至少需选一个,不考虑游览顺序,共有

2、 种游览选择(文)设,满足条件则点构成的平面区域面积等于 .6(理)求和:= .()(文)设满足约束条件使目标函数的值最大的点坐标是 .7(理)设数列满足当()成立时,总可以推出成立下列四个命题:(1)若,则理第9题(2)若,则(3)若,则(4)若,则其中正确的命题是 .(填写你认为正确的所有命题序号)(文)设圆过双曲线右支的顶点和焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 .8(理)已知曲线的极坐标方程为若以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),则此直线被曲线截得的线段长度为 .(文)同理59(理)请写出如图的算法流程图输出的S值 .(文)已知,

3、关于的不等式的解集是 .OBC北南ANS理第11题10(理)已知、为锐角,且,则= .(文)已知、为锐角,且,则= .11(理)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”如图所示,“海宝”从圆心出发,先沿北偏西方向行走13米至点处,再沿正南方向行走14米至点处,最后沿正东方向行走至点处,点、都在圆上则在以圆心为坐标原点,正东方向为轴正方向,正北方向为轴正方向的直角坐标系中圆的方程为 .(文)数列的前项和为(),对任意正整数,数列的项都满足等式,则= .12(理)过定点作直线交轴于Q点,过Q点作交轴于T点,延长TQ至P点,使,则P点的轨迹方程是 .(文)同理1113(理)已知直线(其中为实数)

4、过定点,点在函数的图像上,则连线的斜率的取值范围是 .(文)设是函数()的图像上任意一点,过点分别向直线和轴作垂线,垂足分别为、,则的值是 .14(理)在复平面内,设点A、P所对应的复数分别为、(为虚数单位),则当由连续变到时,向量所扫过的图形区域的面积是 .(文)设复数(为虚数单位),若对任意实数,则实数的取值范围为 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分. 15(理)若复数,则是成立的( )(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件(

5、文)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%,经过x年,绿化面积与原绿化面积之比为y,则y=f(x)的图像大致为 ( )16(理)等差数列中,已知,且,则数列前项和()中最小的是( )(A) 或 (B) (C) (D)(文)同理1517(理)函数的值域为( )(A) (B) (C) (D) (文)函数的值域为 ( )(A) (B) (C) (D) 18(理)已知是外接圆的圆心,、为的内角,若,则的值为 ( )(A) 1 (B) (C) (D) (文)已知向量和满足条件:且.若对于任意实数,恒有,则在、这四个向量中,一定具有垂直关系的两个向量是( )(A) 与 (B) 与 (C) 与 (D

6、)与三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .EABGNDMC(理19题)19(理)(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分5分某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 (1)设MN与AB之间的距离为米,试将EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数; (2)求

7、EMN的面积S(平方米)的最大值(文)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分已知数列的递推公式为(1)令,求证:数列为等比数列;(2)求数列的前 n项和.20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分(理)已知a,b,c分别为三个内角、所对的边长,a,b,c成等比数列(1)求B的取值范围;(2)若x = B,关于x的不等式cos2x-4sin()sin()+m0恒成立,求实数m的取值范围(文)已知分别为三个内角、所对的边长,且(1)求:的值;(2)若,求、21(理)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

8、已知数列的各项均为非零实数,且对于任意的正整数,都有(1)当时,求所有满足条件的三项组成的数列、;(2)试求出数列的任一项与它的前一项间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列,使得?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由(文)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是正方形,其中AB=2米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 G

9、EABNDMC(文21题)(1)设MN与AB之间的距离为米,试将EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数; (2)求EMN的面积S(平方米)的最大值22(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分已知椭圆的两个焦点为、,是与的等差中项,其中、都是正数,过点和的直线与原点的距离为(1)求椭圆的方程;(2)(理)点是椭圆上一动点,定点,求面积的最大值;(文)过点作直线交椭圆于另一点,求长度的最大值;(3)已知定点,直线与椭圆交于、相异两点证明:对任意的,都存在实数,使得以线段为直径的圆过点23(理)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,

10、第2小题满分6分,第3小题满分8分函数,其中若对任意,则称在内为对等函数(1)指出函数,在其定义域内哪些为对等函数;(2)试研究对数函数(且)在其定义域内是否是对等函数?若是,请说明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使在所给集合内成为对等函数;(3)若,在内为对等函数,试研究()的奇偶性(文)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分已知,当点在的图像上运动时,点在函数的图像上运动()(1)求的表达式;(2)若方程有实根,求实数的取值范围;(3)设,函数()的值域为,求实数,的值高三年级 文理科数学试卷答案及评分标准说明 1.本解答列出试

11、题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数. 4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1; 264; 3(理) ;(文)4(理);(文)同理3 5(理)13;(文)2 6(理);(文)7(理)

12、(2)(3)(4);(文) 8(理)4;(文)同理5 9(理);(文)10(文理)1; 11(理);(文); 12(理);(文)同理11ENGDMABC图113(理);(文)-1 14(理);(文).15(文理)D; 16(理)C;(文)D; 17(文理)A ;18(文理)B 19(理)解:(1)如图1所示,当MN在矩形区域滑动,即0x1时, EMN的面积S=;1分EABGNDMC图2HF如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1x时,如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H, E为AB中点, F为CD中点,GFCD,且FG.又 MNCD, MNGDCG ,即4分故EMN的面积S; 6分综合可

13、得: 7分(2)当MN在矩形区域滑动时,所以有;8分当MN在三角形区域滑动时,S=.因而,当(米)时,S得到最大值,最大值S=(平方米). , S有最大值,最大值为平方米. 12分(文)解:(1),又,所以(),所以,数列是以1为首项3为公比的等比数列6分(2),8分所以数列的前 n项和=14分20(理)解:(1)a、b、c成等比数列,b2=ac1分则cosB=3分而a2+c22accosB=,等号当且仅当a=c时取得,即cosB1,得到7分(2)cos2x-4sin()sin()=cos2x-4sin()cos()=2cosx2-2cosx-1=2(cosx-)2-11分x=Bcosx12(cosx-

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