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1、轨迹方程问题汇总11.已知点M(3，0)、N(3，0)、B(1，0)，O与MN相切于点B，过M、N与O相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为_.解析:如图，|PM|PN|=|PA|+|AM|PC|CN|=|MA|NC|=|MB|NB|=42=2.P点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b2=8.方程为=1(x1).答案:x2=1(x1)12.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是12，则M点的轨迹方程是_.解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y=8,e=.由c=2,=8,得a=4,满足e=.椭圆方程为+=1.答案: +=116.(
2、本小题满分10分)设F1、F2是双曲线x2y2=4的左、右两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.解:如图,F1(2，0)、F2(2，0)、M(x,y)，延长F1M与PF2相交于点N，设N(x0,y0).由已知可得M为F1N的中点,又|NF2|=|PN|PF2|=|PF1|PF2|=2a=4,(x02)2+y02=16.(2x+22)2+(2y)2=16.x2+y2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，
3、已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.解:设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,即|MA|MB|=|PB|PA|=50.这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点 O为原点的直角坐标系，则曲线为=1,其中a=25,c=|AB|.c=25,b2=c2a2=3750.所求曲线方程为=1(x25,y0).18.(本小题满分12分)已知点F(1，0)，直线l:x=2.
4、设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=d,d.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若=，求向量与的夹角.解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,a=.e=满足|PF|=d.P点的轨迹为+=1.又d=x,且d,2x.x.轨迹方程为+y2=1(x).(2)由(1)可知，P点的轨迹方程为+y2=1(x),F(1,0)、P(x0,y0).=(1,0),=(x0,y0),=(1x0,y0).=,1x0=.x0=,y0=.又=|cos,1x0+0y0=1cos.cos=.=arccos.1【苍山诚信中学文科】21（本小题满分12分）如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，
5、点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）过点A且倾斜角是45的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.【解】（1）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.2分又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 5分曲线E的方程为6分（2）直线的斜率直线的方程为8分由10分设，12分2【09届苍山文科】22（本小题满分12分）设椭圆过点分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率 （1）求椭圆C的方程； （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线过右焦点F2与椭圆C交于M、N两点。若AM、AN 的斜率满足求直线的方程； 【解】（1）由题意椭圆
6、的离心率椭圆方程为3分又点（1，）在椭圆上，=1椭圆的方程为6分 （2）若直线斜率不存在，显然不合题意；则直线l的斜率存在。7分设直线为，直线l和椭交于，。将依题意：9分由韦达定理可知：10分又而从而13分求得符合故所求直线MN的方程为：14分3【09届济宁文科】22（本小题满分14分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求的值【解】 （1）设椭圆C的方程为， 抛物线方程化为，其焦点为， 椭圆C的一个顶点为，即， 3分 由，得， 椭圆C的方程为6分 （2
7、）由（1）得， 7分设 ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，并整理得， 9分 10分又， ，由，得， 12分 14分4【临沂一中文科】21(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线 的距离为 （）求椭圆的方程；（）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由【解】（）设椭圆的方程为,由已知得. 1分 设右焦点为，由题意得2分 .3分 椭圆的方程为. 4分 （）直线的方程， 代入椭圆方程,得 5分 设点则6分 设、的中点为，则点的坐标为.7分 点在线段的中垂线上. 8分 化简,得.10分
8、 由得, 11分 所以,存在直线满足题意，直线的方程为 或.12分 5【临沂高新实验中学】21（本小题满分12分）已知，椭圆的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。【解】（1）椭圆方程为（4分）（2）设M，将代入椭圆方程得（6分）又以MN为直径的圆过点A（2，0），且满足，（9分）若，直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，若例1： 已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线 y2 = 4 x的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3
9、, 2)在双曲线上(1)求点F2的轨迹; (2)是否存在直线y = x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由解 (1) 由题意知F1(1, 0)，设F2(x , y)，则 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a 0 A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF1| = | BF1| =于是() 当 | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|时，有 |AF2| = |BF2| , 再代入得：F2的轨迹为直线 x = 1除去两个点F1(1, 0), D(1, 4)() 当 | AF1|-|AF
10、2| = - ( |BF1|-|BF2| ) 时，有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| = 4 = |AB| , 点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1(1, 0)，D(1, 4)两点，故所求的轨迹方程为 l：x = 1与Q：( y0，y 4 )(2) 设存在直线L：y = x+ m满足条件() 若L过点F1或点D， F1、D两点既在直线l：x = 1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上， L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意() )若L不过点F1和D两点，(m-1, m3)，则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上， 要使L与F2的轨迹有且只有
11、两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点由 得 3x2 - (10 - 4m) x +2m2- 8m +1= 0, 从而，有 = (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m2-2m-11) , 当= 0时，有即存在符合条件的直线 y = x+点评 这是“定义法”求轨迹的问题对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的考点二：交轨法求轨迹 例2.已知常数a 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +i为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2c为方向向量的直线交于点P，其中R，试问：是否存在两个定点E
12、 , F，使得 | PF | + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由解 c +i = (, a)，i - 2c = (1, - 2a) , 由向量平行关系得 OP与AP的方程分别为y = ax，y- a = - 2ax 由此消去参数，得 点P(x ,y)满足方程为, a 0 , 从而，有(1) 当时，方程表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 E，F ；(2) 当0时，方程表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：； (3) 当时，方程表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：点评 这是“交轨法”求轨迹的问题将向量c +i与i- 2c分别用坐标表出是解题的关键回答问题时必须要分别回答，这是题目的要求对于也可用直线的点斜式方程求得，读者不妨试一试考点三：代入法(相关点法)例3 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动,且,O为坐标原点,动点P满足.(1)求的值(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.【解析】(1)由已知得(2)设点P坐标为,得,它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支.【点评】 (1)的结果表示点轨迹
