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1、 2018年全国高考理科数学分类汇编函数与导数1.（北京）能说明“若f（x）f（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是f（x）=sinx【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）f（0）对任意的x（0，2都成立，当x0，）上为增函数，在（，2为减函数，故答案为：f（x）=sinx2. （北京）设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为f（x）=ax2（2
2、a+1）x+2ex由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（x）的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若a=0则x2时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a=，则f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a0，则2
3、，f（x）在（，2）递增；在（2，+），（，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（，+）3. （江苏）函数f（x）=的定义域为2，+）【解答】解：由题意得：1，解得：x2，函数f（x）的定义域是2，+）故答案为：2，+）4. （江苏）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（xR），且在区间（2，2上，f（x）=，则f（f（15）的值为【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（161）=f（1）=|1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15）=，故答案为：5. （江苏）若函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在
4、（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为3【解答】解：函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）=2x（3xa）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（x）=2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又f（x）只有一个零点，f（）=+1=0，解得a=3，f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x1，1，f（x）0的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递
5、减；f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=4+1=36. （江苏）记f（x），g（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足f（x0）=g（x0）且f（x0）=g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax21与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=x2+a，g（x）=对任意a0，判断是否存在b0，使函数f（
6、x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x2不存在“S点”；（2）f（x）=2ax，g（x）=，x0，由f（x）=g（x）得=2ax，得x=，f（）=g（）=lna2，得a=；（3）f（x）=2x，g（x）=，（x0），由f（x0）=g（x0），得b=0，得0x01，由f（x0）=g（x0），得x02+a=，得a=x02，令h（x）=x2a=，（a0，0x1），设m（x）=x3+3x2+axa，（a0，0x1），则m（0）=a0，m（1）=20，得m（0）m（1）
7、0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S”点7. （全国1卷）设函数f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）DAy=2xBy=xCy=2xDy=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D8. （全国1卷）已知函
8、数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）CA1，0）B0，+）C1，+）D1，+）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=xa，作出函数f（x）和y=xa的图象如图：当直线y=xa的截距a1，即a1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是1，+），故选：C9. （全国1卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是【解答】解：由题意可得T=2是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在0，2）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可得f
9、（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x1）=2（2cosx1）（cosx+1），令f（x）=0可解得cosx=或cosx=1，可得此时x=，或 ；y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，或 和边界点x=0中取到，计算可得f（ ）=，f（）=0，f（ ）=，f（0）=0，函数的最小值为，故答案为：10. （全国1卷）已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）=1+=，设g（x）=x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成
10、立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式=a24，当0a4时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递减 递增递减综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x2=1，则f（x1）f（x2）=（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则=2+，则问题转为证明1即可，即证明lnx1l
11、nx2x1x2，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求导得h（x）=1=0，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，则a2成立11.（全国2卷）函数f（x）=的图象大致为（）BABCD【解答】解：函数f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e0，排除D当x+时，f（x）+，排除C，故选：B12.（全国2卷）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）C
12、A50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则f（x+2）=f（x），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C13.（全国2卷）曲线y=2ln（x+1）在点（
13、0，0）处的切线方程为y=2x【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当x=0时，y=2，曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x故答案为：y=2x14.（全国2卷）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=exx2则f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，则g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2当（0，ln2）时，h（x）0，当（ln2，+）时，h（x）0，h（x）h（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一个零点方程exax2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=15.（全国3卷）函数y=x4+x2+2的图象大致为（）DABCD【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B函数的导数f（x）=4x3+2x=2x（2x21），由f（x）0得2x（2x21）0，得x或0x，此时函数
