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1、第十五章 复数概念虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数本章知识结构图复数复数与复平面内点（向量）的对应关系、模的几何意义几何意义加、减、乘、除、乘方运算考纲解读1. 理解复数的基本概念.2. 理解复数相等的充要条件.3. 了解复数的代数表示方法及其几何意义.4. 会进行复数代数形式的四则运算.5. 了解复数代数的加、减运算的几何意义.命题趋势探究复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，考题难度为低档.知识点讲解一、 基本概念（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.（2）形如的数叫复数，记作.复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z
2、点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. 两个复数相等（两复数对应同一点）复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.二、基本性质1.复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数.（3）.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2.复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.题型归纳与
3、思路提示题型190 复数概念及其代数运算思路提示无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.例15.1（2012年全国新课标理3）下面关于复数的四个命题： 的共轭复数为 的虚部为其中的真命题为（ ）. . . .解析 因为 ，所以，的共轭复数为，的虚部为，z的共轭复数为，z的虚部为1.其中的真命题为,故选.变式1（2012年陕西理3）设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）.充分而不必要条件 .必要而不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件变式2 是纯虚数，则（ ）. . . .变式3 复数
4、为的共轭复数，则（ ） 例15.2（2012安徽理1）复数满足，则为-2-2i -2+2i 2-2i 2+2i解析 令，则 ，所以解得，所以.故选.变式1 已知复数，则（ ） 变式2 复数（ ） 例15.3（2012江苏3）设，（i为虚数单位），则的值为 解析 据题，所以 从而 .故填8.变式1（2012重庆11）若，其中为虚数单位，则 .变式2 若是虚数单位，且，则（ ） 例15.4（2012湖北1）方程的一个根是A B C D解析 解法一：设，则，整理，得：，所以有，解得，即解法二：用求根公式求解：，故选A.变式1 （2012年上海理15）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A B
5、C D题型190 复数的几何意义思路提示复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.例15.5（2012上海春季）若复数z满足为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为_.解析 设则有，即，所以z在复平面内所对应的图形为以为圆心，为半径的圆，其面积为，故填.变式1 已知，则复数在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限变式2 的取值范围为（ ）A B C D变式3 已知，且，则的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5例15.6（2012华约联盟试题）若，且的实部为0，求复数在复平面内
6、对应点的轨迹.解析 令，则所以其实部为0，所以，这就是所求轨迹的方程，它是一条平行于虚轴的直线.变式1 设z是复数，.（1） 求及的实部的取值范围；（2） 若，分析u是否为纯虚数，并说明理由；（3） 求的最小值.最有效训练题58（限时20分钟）1.复数（ ）A1 B C D2.若复数z满足为虚数单位，则（ ）A B C D3.设是“复数是纯虚数”的（ ）.充分而不必要条件 .必要而不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件4. 复数z满足则（ ）A B C D5.复数z满足，则复数在复平面上对应的点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6.已知复数z，则z的共轭复数（ ）A B C D7.设，且为正实数，则的值为_.8. ,则_.9. 已知复数z 为虚数单位，则_.10.设，且，求对应点的轨迹方程是_.
