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1、2020-2021年上海市杨浦高级中学高三下开学考一填空题(16题每小题4分，7-12题每小题5分，本大题满分54分)1.已知，且，则实数的范围是_.2.直线与直线互相平行，则实数_.3.已知，则_.4.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，则_.5.已知函数则_.6.从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为_.7.已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则_.若将函数表示成则的值等于_.9.如图，长方体的边长，它的外接球是球，则这两点的球面距离等于_.10.椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_.11.是不超过的最大整数，
2、则方程满足的所有实数解是_.12.函数，对于且，记，则的最大值等于_.二.选择题(每小题5分，满分20分)13.下列函数是奇函数的是（ ）A. B.C. D.14.在中，点是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. C. 15.直线与圆交于两点，且，过点分别作的垂线与轴交于点，则等于（ ）A. B.4 C. D.816.已知数列的首项，且，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）A.不存在和使得 B.不存在和使得C.不存在和使得 D.不存在和使得三.解答题(本大题满分76分)17.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分.)如图，直二棱柱的底
3、面是等腰直角三角形，高等于，点为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；（2）求异面直线所成的角的大小18.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分.)已知中，角所对应的边分别为，是虛数单位是方程的根，（1）若，求边长的值（2）求面积的最大值.19.(本题满分14分第（1）小题6分，第（2）小题8分.)平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”平面内的向量列，如果且对于任意的正整数，均有，则称此向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”.（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知是“等
4、差向量列”，“公差向量”；是“等比向量列”，“公比”，求20.(本题满分16分第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.)如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点：（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线所成夹角是否相等？并说明理由.21.(本题满分18分第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.)已知函数.（
5、1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围（2）判断在和的单调性，并说明理由：（3）证明：函数存在零点，使得成立的充要条件是2020-2021年上海市杨浦高级中学高三下开学考一填空题(16题每小题4分，7-12题每小题5分，本大题满分54分)1.已知，且，则实数的范围是_.【答案】2.直线与直线互相平行，则实数_.【解析】由3.已知，则_.【解析】所以4.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，则_.【解析】设三边为对角线为，所认所以也可取正方体的特殊情况去求.5.已知函数则_.【解析】6.从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为_.【解析】7.已知数列
6、是公比为的等比数列，且成等差数列，则_.【解析】所以或若将函数表示成则的值等于_.【解析】9.如图，长方体的边长，它的外接球是球，则这两点的球面距离等于_.【解析】外接球半径为球面距离为10.椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_.【答案】11.是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是_.【解析】当所以当所以所以满足条件的所有实数解为或12.函数，对于且，记，则的最大值等于_.【解析】在有4个周期，最大值为二.选择题(每小题5分，满分20分)13.下列函数是奇函数的是(B)A. B.C. D.【解析】由选B14.在中，点是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当
7、取得最小值时，实数的值为(C)A. B. C. 【解析】设建系，所以时取到最小值，此时，选C15.直线与圆交于两点，且，过点分别作的垂线与轴交于点，则等于(D)A. B.4 C. D.8【解析】长为直径，所以经过原点，选D16.已知数列的首项，且，是此数列的前项和，则以下结论正确的是(A) A.不存在和使得 B.不存在和使得C.不存在和使得 D.不存在和使得【解析】令则所有奇数项都为偶数项都为排除令则所有奇数项都为偶数项都为排除故选三.解答题(本大题满分76分)17.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分.)如图，直二棱柱的底面是等腰直角三角形，高等于，点为所在线段的三等分点.（1
8、）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；（2）求异面直线所成的角的大小（1）因为所以，到平面的距离等于1，即到平面的距离等于所以所以三棱柱的体积等于(立方单位)三棱锥的体积等于立方单位.（2）取线段的三等分点连因为所以的大小等于异面直线所成的角或其补角的大小.因为所以所以异面直线所成的角的大小等于18.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分.)已知中，角所对应的边分别为，是虛数单位是方程的根，（1）若，求边长的值（2）求面积的最大值.（1）的两个根为所以所以得因为所以从而等号当时成立此时所以的面积的最大值等于19.(本题满分14分第（1）小题6分，第（2）小题8分.)平面内的“向量列”，
9、如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”平面内的向量列，如果且对于任意的正整数，均有，则称此向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”.（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”；是“等比向量列”，“公比”，求（1）设由得所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列所以（2）设由从而.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.由得又，所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有令-得，得令从而20.(本题满分16分第（
10、1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.)如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”（1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是；（2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点：（3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线所成夹角是否相等？并说明理由.（1）由点在椭圆上，有，所以在直线上当时，由得直线方程为，代入椭圆方程得得一个交点直线是椭圆切线.当时，有直线为代入椭圆方程得有直线是椭圆切线另解：不讨论将椭圆方程化为将直
11、线方程代入消得到的一元二次方程，然后证明（2）因为点不在坐标轴上，得得过点的切线为得由得，从而有所以点是线段的中点（3）的方向向量.记与的夹角与的夹角所以有，从而有与直线所成的交角相等21.(本题满分18分第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.)已知函数.（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围（2）判断在和的单调性，并说明理由：（3）证明：函数存在零点，使得成立的充要条件是解析：（1）由得（2）设当-1时，有所以当时有所以当时所以所以在递减，在和0，1)上递增从而在上递增.（3）充分性：当时，有，又函数在内的图像连续不断，故在内一定存在零点且，所以有，得从而必要性：当时，.当时，由成立得.从而得，由（2）中的结论可知在递减，在递增从而，或.从而时有
