2009年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析15页

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2、二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算2（5分）（2009陕西）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A2iBiCiD2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，bR）的形式【解答】解：由题意得z=ai（aR且a0）=，则a+2=0，a=2有z=2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题3（5分）（2009陕西）函数的反函数为（）ABCD【考点】反函数菁优网版权所有【专题】应用题【分析】从条件中函数式数反解出x，再将x，y互

3、换即得对数函数的函数，再依据互为反函数间的定义域与值域的关系求得反函数的定义域即可【解答】解：，逐一验证，知B正确故选B【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=（y）；（2）交换x=（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）4（5分）（2009陕西）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（）AB2CD2【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y24y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出

4、圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解【解答】解：将圆x2+y24y=0的方程可以转化为：x2+（y2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，A到直线ON的距离，即弦心距为1，ON=，弦长2，故选D【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解5（5分）（2009陕西）若3sin+cos=0，则的值为（）ABCD2【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】首先考虑由

5、3sin+cos=0求的值，可以联想到解sin，cos的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案【解答】解析：由3sin+cos=0cos0且tan=所以故选A【点评】此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛6（5分）（2009陕西）若（12x）2009=a0+a1x+a2009x2009（xR），则的值为（）A2B0C1D2【考点】二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】通过给x赋值，0得到两等式，两式相减即得【解答】解：令x=得0=令x=0得1=a0两式相减得=1故选项为C【点评】本题考查赋值法是

6、求展开式的系数和问题的重要方法7（5分）（2009陕西）”mn0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】椭圆的应用菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即mn0反之，当mn0，可得出0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”mn0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导8（5分）（20

7、09陕西）在ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（）ABCD【考点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解【解答】解：M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足P是三角形ABC的重心=又AM=1=故选A【点评】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线的交点性质：或取得最小值坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数9（5分）（2009陕西）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇

8、数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A300B216C180D162【考点】排列、组合的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题是一个分类计数原理，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数；取0此时2和4只能取一个，0不可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21A44A33，根据加法原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分类计数原理，第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44=72第二类：取0，此时2和4只能取一个，0不能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C

9、32C21A44A33=108组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180故选C【点评】本题考查分类计数问题，是一个排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，在解题时，0是一个比较特殊的数字，它是偶数还不能排在首位，注意分类的应用10（5分）（2009陕西）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四

10、棱锥体积V1=1=，故八面体体积V=2V1=故选B【点评】本题是基础题，考查棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力11（5分）（2009陕西）若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（4，2）C（4，0D（2，4）【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】常规题型；压轴题【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可【解

11、答】解：可行域为ABC，如图，当a=0时，显然成立当a0时，直线ax+2yz=0的斜率k=kAC=1，a2当a0时，k=kAB=2a4综合得4a2，故选B【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定12（5分）（2009陕西）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2（，0（x1x2），有（x2x1）（f（x2）f（x1）0则当nN*时，有（）Af（n）f（n1）f（n+1）Bf（n1）f（n）f（n+1）Cf（n+1）f（n）f（n1）Df（n+1）f（n1）f（n）【考点】奇偶性与单调性的综合菁优网版权

12、所有【专题】压轴题；探究型【分析】由“x1，x2（，0（x1x2），有（x2x1）（f（x2）f（x1）0”可等有“x2x1时，f（x2）f（x1）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（，0为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+）为减函数，由n+1nn10，可得结论【解答】解：x1，x2（，0（x1x2），有（x2x1）（f（x2）f（x1）0x2x1时，f（x2）f（x1）f（x）在（，0为增函数f（x）为偶函数f（x）在（0，+）为减函数而n+1nn10，f（n+1）f（n）f（n1）f（n+1）f（n）f（n1）故选C【点评】本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇

13、偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2009陕西）设等差数列an的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则=1【考点】等差数列的前n项和；极限及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先用数列的通项公式表示出a6和S3，进而求得a1和d，根据等差数列求和公式求得Sn，代入到答案可得【解答】解：依题意可知，解得a1=2，d=2Sn=n（n+1）=1故答案为1【点评】本题主要考查了等差数列的前n项的和属基础题14（4分）（2009陕西）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有8人【考点】Venn图表达集合的关系及运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可【解答】解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则card（ABC）=0，card（AB）=6，card（BC）=4，由公式ca

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