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1、2009年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2009湖南）若log2a0，1，则（）Aa1，b0B0a1，b0Ca1，b0D0a1，b0【考点】对数函数的单调区间菁优网版权所有【分析】根据指数函数与对数函数的图象和单调性直接解出a，b即可【解答】解：依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0a1，b0，故选D【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式，属基本题2（5分）（2009湖南）对于非0向量，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】向量的共线定理；充要条件
2、菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项【解答】解：反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到所以是的充分不必要条件故选A【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法3（5分）（2009湖南）将函数y=sinx的图象向左平移（02）个单位后，得到函数y=sin（x）的图象，则等于（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先根据图象变换得到平移后的函数y=sin（x+），然后结合诱导公式可得到sin
3、（x+）=sin（x），进而可确定答案【解答】解：将函数y=sinx向左平移（02）个单位得到函数y=sin（x+）根据诱导公式知当=时有：y=sin（x+）=sin（x）故选D【点评】本题主要考查图象变换和诱导公式的应用考查对基础知识的综合运用4（5分）（2009湖南）如图，当参数分别取1，2时，函数y=（x0）的部份图象分别对应曲线C1和C2，则（）A012B021C120D210【考点】函数的图象菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】根据图象先判定的正负，然后利用图象的高低列出不等式即可【解答】解：曲线C1和C2在第一象限且成递增趋势取点（2x，f（2x）与（0，f（0），连接之后，取其
4、中点（x，f（2x）+f（0）/2），根据图象（凸函数）可知，这个中点的纵坐标是小于f（x）（即点（x，f（x）的，由此，f（2x）+f（0）/2f（x），因为x=0，可解得0，1，2均大于0根据图象有1+1x1+2x1x2xx0012故选A【点评】本题考查了根据图象列出不等式的知识，做题时注意分式不等式中分母的关系5（5分）（2009湖南）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A85B56C49D28【考点】排列、组合的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个
5、，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果【解答】解：丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21C72=42，另一类是甲乙都选的选法有C22C71=7，根据分类计数原理知共有42+7=49，故选C【点评】本题考查分类加法，在题目中有三个元素有限制条件，解题时先安排有限制条件的元素排列，在安排没有限制条件的元素，注意做到不重不漏6（5分）（2009湖南）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（）ABCD【考点】二元一次
6、不等式（组）与平面区域；弧长公式菁优网版权所有【专题】图表型；数形结合；转化思想【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求kOB=，kOA=，tanBOA=|=1，BOA=劣弧AB的长度为2=故选B【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想7（5分）（2009湖南）正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到异面直线AB
7、，CC1的距离相等的点的个数为（）A2B3C4D5【考点】简单组合体的结构特征；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数学模型法【分析】画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点【解答】解：如图：正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1AB，C1CB1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有ABBC，C1CBC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F 为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线
8、AB，CC1的距离相等，共有4个点故选C【点评】本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力8（5分）（2009湖南）设函数y=f（x）在（，+）内有定义对于给定的正数K，定义函数 ，取函数f（x）=2xex若对任意的x（+，），恒有fk（x）=f（x），则（）AK的最大值为2BK的最小值为2CK的最大值为1DK的最小值为1【考点】函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；转化思想【分析】根据新定义的函数建立fk（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求
9、解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果【解答】解：由题意可得出kf（x）最大值，由于f（x）=1+ex，令f（x）=0，ex=1=e0解出x=0，即x=0，当x0时，f（x）0，f（x）单调递减，当x0时，f（x）0，f（x）单调递增故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=21=1故当k1时，恒有fk（x）=f（x）因此K的最小值是1故选D【点评】本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9（5分）（20
10、09湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】应用题；集合【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15x）人，只喜爱乒乓球的有（10x）人，由此可得（15x）+（10x）+x+8=30，解得x=3，所以15x=12，即所求人
11、数为12人，故答案为：12【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题10（5分）（2009湖南）在（1+x）3+（1+）3+（1+）3的展开式中，x的系数为7（用数字作答）【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【分析】展开式中x的系数是二项式（1+x）3，的展开式的x的系数和，再利用二项展开式的通项公式求出各二项展开式的x的系数【解答】解：C31+C32+C33=231=7故答案为7【点评】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题11（5分）（2009湖南）若x（0，）则2tanx+tan（x）的最小值为2【考点】基本不等式在最值问题中的应用菁
12、优网版权所有【专题】计算题【分析】先利用诱导公式把tan（x）转化成，然后根据x的范围判断出tanx0，利用基本不等式求得其最小值【解答】解：2tanx+tan（x）=2tanx+x（0，），tanx0，2tanx+2=2（当且仅当tanx=时，等号成立）故答案为：2【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用解题过程中注意等号成立的条件12（5分）（2009湖南）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题设条件，先设B2F1B1=60，求出双曲线的离心率再设F1B2F
13、2=60，求出双曲线的离心率解题的同时要进行验根，避免出现不必要的错误【解答】解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形若B2F1B1=60，则B2F1F2=30由勾股定理可知c=b，故双曲线C的离心率为若F1B2F2=60，则F1B2B1=30，由勾股定理可知b=c，不满足cb，所以不成立综上所述，双曲线C的离心率为答案：【点评】解题时应该分B2F1B1=60和F1B2F2=60两种情况求出双曲线的离心率解题时要注意a，b，c中c最大13（5分）（2009湖南）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量
14、为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率菁优网版权所有【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数【解答】解：设B层中有n个个体，B层中甲、乙都被抽到的概率为，=，n2n56=0，n=7（舍去），n=8，总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1共有个体（4+1）8=40故答案为：40【点评】本题是分层抽样的相关知识容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过14（5分）（2009湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球
