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1、word版 初中数学第一章 第三节 正方形的性质和判定 第三课时教学目标：1.通过正方形、矩形、菱形等特殊四边形的中点四边形的探索过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化等思想方法2.经历“探索发现猜想证明”的过程，进一步发展学生的推理论证能力,体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.教学重点：通过正方形、矩形、菱形等特殊四边形的中点四边形的探索过程，引导学生体会证明过程中所运用的数学思想方法.教学难点：经历“探索发现猜想证明”的过程，发现决定中点四边形形状的因素教法与学法指导：本节课主要采用“自主探究-合作竞学”型教学模式，配以导练循环教学案，引导
2、学生经历画图-探索发现猜想证明的过程，在自主探究的基础上合作交流，从而形成对知识的自主建构另外利用几何画板的动态演示，既生动直观，又突出重点、分散难点课前准备：制作课件、编写导学案、学生预习课本相关内容教学过程：一、感悟导入师通过前几节内容的学习，我们进一步理解了三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理，下面我们来进行简单的训练（师课件出示）题目1.如图1，在ABC 中，EF 为ABC 的中位线, 若A =30,则BEF = ；若EF = 8cm，则AC= .题目2.如图2,添加一个条件使得成为（1）矩形？（2）菱形？ （学生专心思考，大部分学生积极举手准备回答）
3、生题目根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得到BEFA30，AC=2EF16cm师很好，不仅说出了结果，也说明了理由题目呢？生当时是矩形；当时是菱形生当B90时是矩形；当时是菱形师同学们回答的都很好，相信下面的学习大家表现的会更好（学生兴致很高，脸上洋溢着快乐的笑容）师我们知道依次连接任意四边形各边中点可以得到一个平行四边形那么，依次连接特殊四边形各边的中点又能得到怎样的图形呢? 今天我们将一起探究这个问题（师板书课题） 设计意图本环节出示这2个小题的目的是为了强化学生对三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理的掌握情况,针对出现的问题及时纠正弥
4、补,为本节课的学习作好铺垫. 实际效果 提问时选择了平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，学生们回答得很流畅，这种低起点的问题引入，也增强了学生学习数学的自信心。二、自主探究 探究1.画一画 师请同学们根据要求，在学案上完成画图（师课件出示）已知：正方形ABCD,依次连接各边的中点A1、B1、C1、 D1能得到个怎样的图形呢?（学生在学案上认真画图，师指导画图的规范化,然后投影展示学生的图形）探究2.猜一猜生1得到的是一个正方形.师有不同结论吗?生正方形(（异口同声）探究2.证一证师 同学们回答的很正确，你能证明这个结论吗？请一位同学到黑板上板书他的证明过程,其余同学将你的思路书
5、写在学案上.（学生们立刻安静,努力思考着方法）生2我想上去试试.师太棒了.（学生2到黑板板书，其余的在学案上书写,态度都非常认真.师巡回指导证明的规范化）生2板书证明：四边形ABCD是正方形 AB=C=D90 ABBCCDDA 又A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点 AA1BABB1B1CCC1C1DDD1D1A AD1A1BA1B1CB1C1DC1D1 A1B1B1C1C1D1D1A1 AB90， AA1AD1，A1B=BB1， AA1D1=BA1B1=45 D1A1B190 四边形A1B1C1D1是正方形师很好，哪位勇敢的同学能帮助我们大家梳理一下这位同学的思路呢?生
6、3他先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形师还有其他的方法吗?生4因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是ABC的中位线，同理可知C1D1是ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是ABD的中位线，B1C1是BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90，这样也可以证明四边形A1B1C1D1是正方形老师，我这种思路可以吗?师同学们的意见呢
7、?生齐声可以设计意图:让学生亲身经历画一画、猜一猜、证一证获得问题解决方法的过程，既巩固加深了学生对矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的性质及判别的理解，同时又使学生获得了把新知识转化为旧知识的这种解决数学问题的转化方法.实际效果 提高了解决问题的能力,学生在探究的过程中，享受到成功的喜悦，增强了学习的信心，为下面的学习打下基础.三、合作竞学师证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用三角形中位线定理和正方形的性质来证明大家要灵活应用这些性质，接下来期待同学们有更好的表现,请看下面的问题.（师课件出示)(1)依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，
8、再证明(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?(3)依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系操作方式:本环节采取分组探究的形式展开,全班分为3个小组,每一小组选择一个不同的任务，对矩形、菱形、平行四边形三种情况的中点四边形进行合作探究验证.生在获取小组任务后,在各小组组长的带领下,积极进行合作探究.师观察每个小组的学习情况，对有困难的给予引导，然后用投影分组展示各组的如下探究结果.第一小组学生依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图 已知:在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，求证：四边形A1B1C1D1是矩形 证明：连接AC、B
9、D 点A1、B1、C1、D1分别是菱形ABCD的各边的中点， A1B1AC，C1D1 AC. A1B1C1D1 四边形A1B1C1D1是平行四边形 AC、BD是菱形ABCD的对角线， ACBD A1B1C190 四边形A1B1C1D1是矩形第一小组同组同学这个题还可以证明：A1B1C1B1C1D1C1D1A190 因为A1B1AC，C1D1AC， A1DBD，B1C1BD 而菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直 所以，即可得证四边形A1B1C1D1是矩形第二小组学生依次连接矩形四边的中点能得到菱形如图，点A1、B1、C1、D1分别是矩形ABCD各边的中点，所以连结AC、BD则A1B1AC，C
10、1D1AC，A1D1BD，B1C1BD四边形A1B1C1D1是平行四边形 ACBD A1B1B1C1. 平行四边形A1B1C1D1是菱形 (学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)第三小组同学依次连接平行四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形如图，连接AC或BD因为点A1、B1、C1、D1分别是平行四边形ABCD各边的中点，所以A1B1AC，C1D1AC 所以A1B1C1D1 因此，四边形A1B1C1D1是平行四边形师很好，同学们能用类比的方法，证明了连接平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连接四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关?有
11、怎样的关系?请同学们在小组内展开讨论.（全班同学展开热烈的讨论,气氛很好,学生的探究欲望教强烈）第一小组代表由前面的讨论可知：所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关第二小组代表我们完全赞同第一小组的说法.第三小组代表我们也完全赞同第一小组的说法.师很好，那大家来想一想：到底有怎样的关系呢?第一小组代表只要四边形的对角线相等，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是菱形第二小组代表只要四边形的对角线互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是矩形师还有补充吗?第三小组代表只要四边形的对角线既相等又互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形
12、就是正方形.师对角线既不相等也不垂直呢?生齐声回答平行四边形.师同学们回答的都很好!我们把结果展示出来,并用几何画板演示验证结论的正确性（师几何画板演示探究结果）原四边形对角线关系相等垂直相等且垂直既不相等又不垂直中点四边形形状菱形矩形正方形平行四边形设计意图: 使学生经历“探索发现猜想证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展实际效果分小组对问题展开探究，既培养了学生的集体荣誉感，提高了学生的竞争意识，同时也提高了学习效率，几何画板的使用学生感觉到了数学课堂的丰富多彩。四、拓展应用（本环节是对教材“做一做”的再创造）已知：右
13、图中，ABCDXA 是我市的一条环形公路，X表示一座水库，B,C 表示两个村庄.已知ABCD 是一个正方形,XAD 是一个等边三角形.现在枣庄市政府要铺设输水管XB 和 XC, 从水库向B,C 两个村庄供水, 请你告诉工人师傅两条水管的夹角BXC 的度数为 .变式训练:如图，四边形ABCD 是正方形，ADX 是等边三角形，则BXC的度数为 .学生:认真读题，先独立思考，然后在小组内交流教师：点拨指导，引导学生分析思路，方法，归纳一般的思路.设计意图:通过练习和变式训练及时引导学生加深对所学知识的理解,并能做到触类旁通, 不仅提高了解决问题的能力而且发展了学生的发散思维的能力。实际效果学生体会到数学在生活中的广泛应用，进一步感受生活的数学化，从而更加喜欢数学了。五、反思提高师同学生掌握的很好,本节课你学到了哪些数学知识，掌握了哪些数学方法，你还有什么困惑吗？生1 我学会了特殊四边形的中点四边形的形状.生2我知道了中点四边形的形状与原四边形的对角线有关.生3我学会了转化的思想方法.生4我感觉到数学太有用了.设计意图培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系，实际效果学生回答的比较完整,美中不足没说出自己的困惑.六、达标测试1.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）平行四边形 菱形
