《10、立体几何线面位置关系的判定与证明5页》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10、立体几何线面位置关系的判定与证明5页（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第10讲立体几何线面位置关系的判定与证明一、考点要点线面的平行与垂直的判定和性质：平行垂直直线a 与直线b（1）同平行于直线c的两直线平行（2）ab = b，aa，ab ab （3）ab = b，aa，ab ab（4）aa，ba ab（5）两平行平面都和第三个平面相交，则交线平行（1）ab，bc ac（2）aa，ba ab（3）三垂线定理、逆定理（4）aa，ba ab直线a（b）与平面a（b、）（1）aa，ba，ab aa（2）ab，ab aa（3）aa，ab，ab aa（1）m、na，mn=B，am，an aa（2）ab，ba aa（3）ab，ab aa（4）ab，ab = b，ab，ab
2、aa （5）ab，b，bg = a aa平面a与平面b（1）若a 内的两条相交直线a、b都平行于b，则ab（2）aa，ba ab（3）平行于同一平面的两平面平行（1）lb，la ab（2）ab，ag bg根据上述线面的平行与垂直的判定和性质，可知：“线线平行 线面平行 面面平行”，“线线垂直 线面垂直 面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙若是单纯的判断题，通常是结合图形（或另作，或想象）将三种语言（文字、符号、图形）互译互助，利用判定定理或性质定理解决；若是线面平行、垂直关系的证明问题，基本思路是：由
3、“已知”用性质推“可知”，看“欲证”想“要证”用判断，并借助图形直观，添加必要的辅助线（面）；若是角、距离的计算问题，首先是在原有图形上千方百计地找到（或作出）符合相关定义的角、距离，然后加以论证，最后是计算角或距离的大小二、典型例题例1 （1）（2013广东）设m，n是两条不同的直线，a，b 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）D （用长方体模型思考判断）A若ab，ma，nb，则mn B若ab，ma，nb，则mnC若mn，ma，nb，则ab D若ma，mn，nb，则ab（2）（2013新课标）已知m，n为异面直线，m平面a，n平面b直线l满足lm，ln，la，lb，则（） DAab，且l
4、a Bab，且lbCa 与b 相交，且交线垂直于l Da 与b 相交，且交线平行于lEBADCECDBA例2 （2008重庆）如图，在ABC中，B = 90，AC = 7.5，D、E两点分别在AB、AC上，使AD:DB = AE:EC = 2，DE = 3现将ABC沿DE折成直二角角，求：（1）异面直线AD与BC的距离；（2）二面角AECB的大小（用反三角函数表示）分析 （1）因为与AD、BC既垂直又相交的直线是异面直线AD与BC的公垂线，两交点间的线段长是其距离，所以图文结合，仔细领会题意，不难发现BD就是异面直线AD与BC的距离（2）在折叠后的图中，由于AD底面DBCE，所以利用三垂线定理
5、或逆定理作出二面角AECB的平面角，然后加以论证和计算解 （1） AD:DB = AE:EC， BEBC又因B = 90， ADDEBADCEF因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，从而ADDB注意到DBBC，所以DB为异面直线AD与BC的公垂线如图，由AD:DB = AE:EC = 2，得 DE:BC = AD:AB = 2:3又DE = 3， BC = 4.5，AB2 = AC2BC2 = 36进而 BD = 2，即异面直线AD与BC的距离为2（2）如图，过D作DFCE，交CE的延长线于F，连结AF由（1）知，AD底面DBCE，由三垂线定理知AFFC，故AFD为二面角AECB
6、的平面角在底面DBCE中，DEF =BCE，BD = 2，CE = 2.5，得，从而在RtDFE中，DE = 3，DF = DEsinDEF = DEsinBCE = 2.4在RtAFD中，AD = 4，因此所求二面角AECB的大小为说明：1现行教材及考纲中对异面直线的距离要求较低，在图中往往有现成的距离（不需要另作），只要根据题意加以说明（证明）它满足异面直线的距离所要求的两个条件：既垂直又相交即可2作二面角的平面角时，通常需要确定出（或找到）一个半平面的一条垂线，借助于三垂线定理或逆定理去作角（先作出），后证明3要善于熟练应用直角三角形的边角关系例3 （2008安徽）如图，在四棱锥OABC
7、D中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC = 45，OA底面ABCD，OA = 2，M为OA的中点，N为BC的中点（1）证明：直线MN平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离分析 （1）要证直线MN平面OCD，只需在平面OCD内找到（若无现成的则需另作）一条直线，证明它与MN平行（这条思路本题不太容易）；或者证明直线MN所在的某个平面（常常需要另作）平面OCD，注意到题设中有两个中点，于是再取AD或OB的中点（如下图），则问题立即解决MACNBDOMACNBDOEFMACNBDOMACNBDO（2）异面直线所成的角需要转化成两条相交直线所成的锐角或直
8、角所以平行移动AB或MD，使它们相交，结合图形，发现ABCD，而CDMD = D，所以MDC就是异面直线AB与MD所成的角（或其补角）连结CM，在CDM中，不难得出DM =，CM2 = 3，而CD = 1，AC2 = 2，进而由余弦定理，得，得MDC = 60所以AB与MD所成的角为60（3）由于ABCD，CD 平面OCD，AB 平面OCD，所以AB平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，设为h则 OD2 = OA2 + AD2 = 5，AC2 = 1 + 1211cos45 = 2，OC2 = 4 + 2= 6，于是 在OCD中，有， 由 VAOCD = VOACD 得，所以说明：1充
9、分利用“线线、线面、面面平行（垂直）的转化关系”进行分析，是顺利解答高考立体几何试题的重要思路2第（3）小题，若注意到OA底面ABCD这一已知，则有以下求解方法： AB平面OCD， 点A和点B到平面OCD的距离相等连结OP，过点A作AQOP于点Q APCD，OACD， CD平面OAP， AQCDA1B1BACC1又 AQOP， AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ，AP = PD，所以，即点B到平面OCD的距离为例4 （2008湖北）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1（1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为q，二面角A1
10、BCA的大小为j，试判断q 与j 的大小关系，并予以证明分析 （1）图文结合、理解题意要证ABBC，通常是证AB垂于BC所在的某个平面或BC垂于AB所在的某个平面，于是转化为只需证明BC垂直于这个平面内的两条相交直线为了转化并利用已知条件“平面A1BC侧面A1ABB1”，所以过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，得到AD平面A1BC，进而ADBCA1B1BACDC1根据ABCA1B1C1是直三棱柱，得侧棱AA1底面ABC，有AA1BC，而ADAA1 = A，所以BC平面AA1D，故BCAB（2）连结CD，则由（1）知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1是二面角A1BCA的平面
11、角，即ACD =q，ABA1=j于是在RtADC中，；在RtADB中，由ABC是直角三角形，AC是斜边知ABAC，得 sinqsinj，又 0q，j90， qj说明：1熟练理解并掌握线线、线面、面面的判定与性质，是迅速打开并探寻立体几何题解题思路的桥梁由于判定与性质较多，故要善于选择简捷的途径2对于线面角或面面角，找到（或作出）平面的一条垂线是关键3变式：在上述条件下，若增加一个条件AA1 = AC，则有结论q +j = 90成立例5 如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD = a，AB = b，CDAB（1）求证：EFGH是矩形；（2）求
12、当点E在什么位置时，EFGH的面积最大DHABFCEG解 （1） CD面EFGH，而面EFGH面BCD = EF， CDEF同理 HGCD， EFHG同理 HEGF 四边形EFGH为平行四边形由CDEF，HEAB， HEF为CD和AB所成的角或其补角又 CDAB， HEEF， 四边形EFGH为矩形（2）由（1）可知在BCD中，EFCD，其中DE = m，EB = n， ，得 由 HEAB， ，有又 四边形EFGH为矩形， S矩形EFGH = HE EF =ba =ab m + n2，（m + n）24mn，当且仅当m = n时取等号，即E为BD的中点时，S矩形EFGH =abab， 矩形EFG
13、H的面积最大为ab点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等PCDAB例6 如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，又ADBC，ADDC，且PD = BC = 3 AD = 3（1）在网格中画出四棱锥PABCD的正视图；（2）求证：平面PAD平面PCD；（3）在棱PB上是否存在一点E，使得AE平面PCD，若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：（1）四棱锥PABCD的正视图如图所示（2）因为PD平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PDAD因为ADDC，PDCD = D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，所以AD平面PCD因为AD 平面PAD，所以平面PAD平面PCD（3）分别延长CD，BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得下面证明AE平面PCD因为ADBC，BC = 3 AD，所以，即所以，因此AEOPOEPCDAB因为OP 平面PCD，AE 平面PCD，所以AE平面PCD
