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1、6.145.176.14对于类氢原子（核电荷）的“圆轨迹”（指的轨迹），计算（a）最可几半径；（b）平均半径； （c）涨落解：类氢原子中电子波函数可以表示为 （1）（a） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 （2）决定。时，。代入（2）式，容易求得 （4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（b）在态下，各之间有递推关系（Kramers公式） (5) （参 钱伯初、曾谨言量子力学习题精选与剖析P197）在（5）式中令，注意到。可设 (6)依次再取，得到 （7）（c） （8）因此，的涨落 （9） （10）可见，越大，越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。6.155.186.16
2、5.206.16设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为（） （1）为Bohr半径，求价电子的能级。提示：令，解出解：取守恒量完全集为，其共同本征函数为 （2）满足径向方程 （3）令 （4）式（3）就可以化为 （3）相当于氢原子径向方程中换成。所以式（3）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为 ， ， （5）将换成，即得价电子的能级：， （6）通常令 （7） （8）称为量子数和的“修正数”。由于，可以对式（4）作如下近似处理：略去，即得 （9）由于，因此，本题所得能级和氢原子能级仅有较小的差别，但是能级的“简并”已经消除。式（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤
3、其是，修正数随之升高而减小，这一点和实验符合的极好。式（4）的精确解为 （10）若对上式作二项式展开，保留项，略去以上各项，即可得到式（9）。6.17证明一个球方势阱(半径a,深度V0)恰好具有一条l0的能级的条件是：V0与a应满足 （解）是有限深势阱问题，则薛定谔方程为（1） 的解需满足r=0处有限，它的特解是 （3）（2） （4）要使波函数及其一阶导数在r=a这个势能突点上连续，应有 为了运算的方便（主要利用球贝塞耳函数j，和球Hankel函数h1的一阶导数公式）（6），（5）两边相除，并加上相同的 此式等效于： （7）从课本附录六的公式得 （7）式成为 （8）按照题意，若势阱的深度V0，
4、宽度（并径a）的大小恰足以产生一个束缚能级，那就表示势阱深V0正好和能级E相等，而E则依赖于a，所以：E= V0的条件使波数 从（8）看来，等式右方因含有因数k1而等于零，一般因而等式左方为零 解此方程得到所需的E6.18采用平面极坐标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，讨论简并度。（解）本题是有精确解的二维问题，和图示的极坐标定态的薛定谔方程式是：（1）用分离变量代换 （2）方程（1）可分离为不同自变量的二部分：令 （3）前式相当于两个方程式：前式中常量m2是正数，否则将不符波函数要求：（5）的解是 为符合单值要求 现再处理主程式（4），作常数替代 （4）式变成（6）（6）有
5、r=0，r=的奇点，试求其奇点的近似解，在r=0附近方程式近似为这个方程容许R=r2形式的解，代入后得在无限远入（6）的近似形式因此可以合理地假设（6）的解是：（7）将（7）代入（6）经过一番整理后，得到(8)作自变量交换=a2r2代入（8）式，其中 代入（8）式，经过简化后得到：（9）此方程式中的代表磁量子数的绝对值，（9）式与合流超几何方程式完全一致，后者一般形式是：（10）（9）中的a1本应照习惯写法，写作a，为了避免与（8）式中的a混淆，改为加撇，（10）的解是：（11）因而 （12）完整的径向波函数是（13）由于合流超几何级数收敛性质和相似，故其无穷级数形式不适于作为波函数的解，欲使
6、其能作为波函数的一个因式，这个级数要中断，设最高幂p,由（11）可知+p=0 即因 用磁量子数m表示E：得到所需能级： （15）n是能量量子数，当n给定时，与该能量相对应的不同态的数目（简并度）可依n奇数或偶数分别讨论，列表如下：n奇数 n偶数P取值0，1，2，0，1，2，取值n,n-2,n-4,1n,n-2,n-4,0简并度n+1n+1因为时，每一种的值都对应二种态m和-m，因此当n为奇数时，m的取值（即能量相同的不同态）是 种，当n为偶数时的态又有种，因此m的不同取值也是有1+2=n+1 种，总的说来，简并度是n+1.6.19设粒子在无限长的园简内运动，简半径是a，求粒子的能量。解:用柱面
7、极座标其意义见附图，设波函数是则薛氏方程式是： （1） （2）第一次分离变量试用 （2）代入（1），当ra时，经变形后可得： （3）此式明显可以分离变量，设与z方向运动有关的能量是，与坐标r，有关的能量（横向）是，并令，（3）式成为： （4） （5）令，则（4）写作 （6）（6）的解是前进的德布罗意波 （7）将（5）再一次分离变量，令 代入（5），遍乘得： （8）此式能分离变量，令： （常量）可得： （9） （10）（9）的解同于有心力场 （11）考虑的单值性条件，而m必须是整数方和式（10）是非标准型的贝塞耳（Besel）方程式，若作自变量的变换则在代入（10）式，消去共有的后得标准型贝塞耳
8、（Besel）方程式 （13）m（整）是方程所含的一个参数。方程式的特解就是m 阶的贝塞耳函数 (14)园简中粒子的波函数完整表示式是： (15) 求粒子的能量：粒子的能量来自二种运动，沿z方向的纵向运动是自由运动，其能量，从波函数（7）看来具有连续值，粒子的横向运动的能量，即与座标，有关的能量可以用边界条件决定，按题意粒子局限于范围内，因而即能值应满足： (16)按阶数绘得的以自变量为横轴的贝塞而函数的曲线是波动曲线，它与r轴有一系列交点（）用图解法求得这些点，即超越方程的诸根，可得量子化能级：总能量则仍是连续取值的：6.20粒子在半径为，高为的圆筒中运动，在筒内粒子是自由的，在筒壁及筒外势
9、能是无限，求粒子能量的本征值。（解）本题与16题有一部分类似，粒子位置用柱面极座标表示，薛氏方程式： （1） 0 第一次用代入（1）分离变量；变形后有：令，其中纵向运动（沿）能量，是沿横向运动的能量，（2）分写成或 （3）或 （4）式中： （5）因粒子沿方向是束缚运动，故可以设定（3）的解为： （6）代入，又，得将此二式相加得 相减得，得到两种可能的特解 （7）又 得 代入（5）得能量量子化条件 （8）再将（4）式分离变量，令代入（4）得：（9）的解是 （但） （11）用自变量替代于（10），得贝塞耳方程式： （12）代边界条件于（12）的解得 （13）和15题一样，超越方程式（13）可以有一系列分列的根相应的能量 （14）结合纵向运动的分立能级（8），得；粒子的量子化能级是： （15）6.21设求基态（）的波函数。（解）将势能代入有心力场的径向薛定谔方程式： （1）对于基态（1）简化为 （2）先按一般有心力场那样，作因变量变换 （3）得 （4）这个方程式可能变换成贝塞耳方程式，为此，先作自变量变换： （5）则有 代入（4）中，先设 （4）式成为或 （6）再作自变量变换：，代入（6）后，得： （7）这是一般的贝塞耳方程式，它的参数是（虚数），它的解写作或 （8）贝塞耳函数的阶数
