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1、第四章习题试解1. 一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。解：设原子质量为m，周期为a，第n个原子偏离平衡位置的位移为n，第n-k及n+k个原子偏离平衡位置的位移分别为n-k，n+k，其与第n个原子间的弹性恢复力系数为-k，k。n-k n-1 n n+1 n+k显然：第n 个原子受n-k 和n+k原子的合力为：第n 个原子受所有原子的合力为：振动的运动学方程可写为：代入振动的格波形式的解 有 色散关系即为 2. 聚乙烯链CHCHCHCH的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，原胞两原子质量均为M，但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为1和2，原子
2、链的周期为a。证明振动频率为证：如图，任意两个A原子（或B原子）之间的距离为a，设双键距离b2，单键距离b1 CHCHCHCHCHCHCHCHCHCH 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 A B Ab2 b1只考虑近邻作用的A，B两原子的运动方程为 A： B： 将格波解 和 代入以上运动方程，有 化简得： 同理： 化为以A、B为未知数的线性齐次方程组，它的有解条件是 从而得到 3. 求一维单原子链的振动模式密度g()，若格波的色散可以忽略，其g()具有什么形式，比较这两者的g()曲线。解：一维情况q空间的密度约化为L/2，L=Na为单原子链的长度，其中a为原子间距，N为原子数目。则在
3、dq间隔内的振动模式数目为。d频率间隔内的振动模式数目为 等式右边的因子2来源于（q）具有中心反演对称，q0和q0区间是完全等价的。从而有 对于一维单原子链，只计入最近邻原子之间的相互作用时，有 其中m为最大频率。代入g()得 考虑=cq（德拜近似）由q0（德拜近似下）, 有 即则有： （常数）考虑=0（爱因斯坦近似） 显然有4. 金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为1012 Nm-2，密度=3.5gcm-3。试估算它的德拜温度D=？解：德拜温度 ， 近似看作弹性介质时，每摩尔原子数目为N=6.021023，摩尔质量m=12g，则摩尔体积 代入，得 m=57.971013最后得 D=4427K
4、5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。解：根据量子理论，各简谐振动的零点能为德拜近似下 总零点能为 由自由度确定的 代回上式中 6. 一根直径为3mm的人造蓝宝石晶体的热导率，在30K的温度达到一个锐的极大值，试估计此极大值。（蓝宝石在TD=1000K时，cV=10-1T3Jm-3K-1）解： m=1.311014此时声速 在与晶格常数10-10m近似时约为2.09103，近似作为平均声速代入热导率 7. Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm，在100方向可以看做是一组平行的离子链。离子间距d=0.28nm。NaCl晶体的杨氏模量为51010Nm-2，如果全反射的光频率与q=0的光频模频率相等，求对应的光波波长。解：当q=0时，光频支频率为 杨氏模量，且m故，再同两原子质量一同代入频率式 则波长=1.5310-14m8. 立方晶体有三个弹性模量C11，C12和C44。铝的C11=10.821010Nm-2，C44=2.851010Nm-2，铝沿100方向传播的弹性波纵波速度，横波速度，Al的密度=2.70103kgm-3。求德拜模型中铝的振动模式密度g()。解：由题条件知，若所考虑的晶体体积为V，则
