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1、凯勒-哈密顿定理的证明与运用题 目 ： 凯勒-哈密顿定理的应用 学 院 ： 数学与统计学院 姓 名 ： 刘燕妮 班 级 ： 09数应3班 学 号 ： 目 录一 定理内容 2二 定理证明 2-3三 定理运用 2-5 1在证明当中的运用 32 计算多项式的值 33计算矩阵的高次幂 44求矩阵的逆 45求矩阵的最小多项式 5参考书目与文献 6凯勒-哈密顿定理的证明及其运用摘要: 在处理矩阵问题时,利用特征理论是一大方法.哈密顿-凯莱定理揭示了方阵和它对应的特征多项式之间的关系,是特征多项式所具有的一个重要性质. 除在理论上极为重要外 ,对解决某些具体问题也有独特 的用处. 结合实例 ,介绍了哈密顿-
2、凯莱定理的证明及其在证明及求方阵的逆阵、方阵的高阶幂中以及最小多项式;逆矩阵的应用. 关 键 词： n 阶矩阵，特征多项式，哈密顿凯莱定理，最小多项式，逆矩阵，方正的高阶幂、一、 哈密顿-凯勒定理内容设A是数域P上的n阶矩阵A的特征多项式为f()=|E-A|= n+a1n-1+an-1+an则A的多项式f(A)为零矩阵。二、 哈密顿-凯勒定理的证明证明：设B（）是E-A的伴随矩阵，则由行列式的性质B（）（E-A）= f()E, 因为B（）的元素是|E-A|的各个代数余子式，都是的多项式，次数不超过n-1. 则B（）可以写成B（）=n-1B0 +n-2B1+Bn-1 其中B0B1B2Bn-1都是
3、n*n的数字矩阵.设f()=|E-A|= n+a1n-1+an-1+an 则f()E=En+Ea1n-1+Ean-1+Ean B（）（E-A）=（n-1B0 +n-2B1+Bn-1 ）（E-A） 由可得 B0=E B0An = EAn=An B1-B0A=a1E B1 An-1 - B0An = a1 An-1 B2-B1A=a2E B2 An-2-B1 An-1 = a2 An-2 Bn-1-Bn-2=an-1E Bn-1A-Bn-2 A2 = an-1 A -Bn-1A=anE - Bn-1A= anE以An, An-1,A,E 分别右边乘的第一式，第二式，,第n+1式得到,再将（4）中的
4、n+1个式子加起来，得到f(A)=0.三 定理的运用1、 定理在证明当中的应用【例】 若n阶方正的特征值全为零，则必有某些自然数k，使得A的k次方为零.证明：因为A的所有的特征值均为零 A的特征多项式就为f()=n. 由哈密顿定理，f(A)=An=0 所以比存在自然数k,使得Ak=0.2、 定理在计算多项式的值.【例】设A= 1 -3 3 -1 计算A4-2A3+11A2-15A+ 29E.解：A的特征多项式为f()=|E-A|= -1 +3 =2+8 -3 +1 则由哈密顿凯勒定理，f(A)=A2+8=0令g()=4-23+112-15+ 29.=(2-2+3)(2+8)+5g(A)=(A2
5、-2A+3)(A2+8)+A+5E =A+5E= 6 -3 3 -4 3、 计算矩阵的高次幂【例】设矩阵A= 1 0 -1 ，计算A100. 0 2 0 0 2 解:由已知A的特征多项式为f()=|E-A|=（-1）（-）（-2）由哈密顿凯勒定理A3=E则A100=(A3)33*A=A= 1 0 -1 0 2 0 0 2 4、求矩阵的逆说明：若A可逆，则它的特征多项式的常数项为an=(-1)n由哈密顿凯勒定理f(A)= An+a1An-1+an-1A+an=0所以-（1/an）(An-1+aAn-1+an-1)*A=E从而 A-1=-（1/an）(An-1+aAn-1+an-1)【例】设矩阵A
6、为 1 -1 1 求A-1 1 1 0 2 1 1A的特征多项式为f()=|E-A|=3-32+2+E由哈密顿凯勒定理 A-1=A2-3A+2E = 1 2 -1 -1 -1 1 -1 -3 2 5求矩阵的最小多项式 3 1 0【例】设矩阵A= 0 3 0 ，求矩阵的最小多项式 0 0 3解：矩阵的特征多项式为 -3 -1 0 =(-3)3 0 -3 0 0 0 -3 最小多项式可能为(-3)、（-3）2、（-3）3 通过计算A-3E 0，（A-3E）2= 0 所以最小多项式为m()=(-3)2结束语 本文介绍了哈密顿凯勒定理的内容及其一些应用，在解决实际问题的过程中，还要做到举一反三，灵活应用，这对解题能力的提高大有裨益。参考文献1魏献祝. 高等代数M 上海，华东师范大学出版社，1998.2邱维生. 高等代数（下册）M 北京 高等教育出版社，2001.3杨子胥.高等代数习题集（修订版下册）M 济南 山东科学技术出版社，2002.4黄有度 狄承恩 矩阵论及其应用M 合肥 中国科学技术出版社 1997.5胡海清 线性代数解题分析M 长沙 湖南科学技术出版社 1987. 6王萼芳，石生明 高等代数M 高等教育出版社 2003.7 张禾瑞 郝锐新 高等代数 M 高等教育出版社 2007.
