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1、 南昌大学第四届高等数学竞赛(医学类)试题 序号： 姓名： 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2007年9月16日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人 签名题分 100得分注: 本卷共七页, 十二个大题,考试时间为8:3011:30.一、 填空题(每空3分，共15分) 得分评阅人 1、设，则 .2、设，则极限 . 3、设在处连续，且，求= .4、求极限 . 5、曲面在的切线方程为 .二、 单项选择题(每题3分，共15分) 得分评阅人 1、 设，则=( )(A). (B). (C). (D).2、 设 n为使得存在的最高阶数, 则n为( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D
2、) +.3、 方程的通解为（ ）(A) . (B) .(C) . (D) .4、 设 则( ) (A). (B). (C). (D).5、 设 若在其定义域内连续，则k=( )(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3.得分评阅人 三、（本题满分6分） 求极限.得分评阅人 四、（本题满分6分） 求极限.得分评阅人 五、（本题满分7分） 设的一个原函数为，求.得分评阅人 六、（本题满分7分） 设是在定义域内以T为周期的连续函数，即对任意的，总成立，证明：. 得分评阅人 七、（本题满分8分） 求函数的极值.得分评阅人 八、（本题满分7分） 某种类型的阿司匹林药物进入血液系统的量称为有效药量
3、，其进入速率可表为函数试求(1) 何时速率最大？这时的速率是多少？(2) 有效药量是多少？.得分评阅人 九、（本题满分7分） 设在0，1上是单调递减的连续函数，试证明对于任何都有不等式 .得分评阅人 十、（本题满分7分） 设函数求得分评阅人 十一、（本题满分8分） 设 证明：得分评阅人 十二、（本题满分7分） 求圆.南昌大学第四届高等数学竞赛(医学类)答案一、 填空题(每空3分，共15分)11000！213045二选择题(每题3分，共15分) 1D 2B 3A 4C 5C三、（本题满分6分）求极限解：因为 .(2分)且.(2分)又因为 . .(1分)从而由迫敛性（夹逼原则）知，=0 .(1分)
4、四、（本题满分6分）求极限.解：.(3分).(2分)从而=1 .(1分)五、（本题满分7分）设的一个原函数为，求.解：由题知 .(2分) .(5分)六、（本题满分7分）设是在定义域内以T为周期的连续函数，即对任意的，总成立，证明：证明：因为 .(3分)而 .(3分)故. .(1分)七、（本题满分8分）求函数的极值.解：当时，令，得. .(3分)另外，在处导数均不存在。 .(2分)当时，时，故在处f取得极大值. .(1分)同理可得在处f也取得极大值. .(1分) 因为故在处f取得极小值0. .(1分)八、（本题满分7分）某种类型的阿司匹林药物进入血液系统的量称为有效药量，其进入速率可表为函数试求
5、(1) 何时速率最大？这时的速率是多少？(2) 有效药量是多少？.解：(1) .(2分)令,得 .(1分)易求得即当x为1时，此时速率最大，值为0.6. .(2分)(2) 由题意知，有效药量为 .(2分)九、（本题满分7分）设在0，1上是单调递减的连续函数，试证明对于任何都有不等式 证明：显然时，不等式成立； .(1分)当时，.(3分) .(3分)事实上，由于，由函数的单调性知.十、（本题满分7分）设函数求解：, .(1分) .(2分) .(2分) .(2分)十一、（本题满分8分）设 证明：证明： .(2分)同样可求得 .(2分) .(2分) .(1分)所以 .(1分)十二、（本题满分7分）求圆.解：此旋转体的表面可看作是由两个半圆： .(1分)绕x轴旋转而得到，所以 .(3分)= .(3分)
