《费马点及其在中考中的应用（2021年整理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《费马点及其在中考中的应用（2021年整理）（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、费马点及其在中考中的应用 一、费马点的由来 费马(Pierre de Fermat，16011665)是法国数学家、物理学家费马一生 从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好 然而，在 17 世纪的法 国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一；概率论的主 要创始人；以及独承 17 世纪数论天地的人 一代数学大师费马堪称是 17 世纪 法国最伟大的数学家 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者 358 年费 马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 之值 为最小，人们称这个点为“费马点” 二、探索费马点 1 当三角形有一个内角大于或等
2、于 120的时候，则费马点就是这个内角 的顶点 下面来验证这个结论： 如图 1，对三角形内任意一点P，延长 BA 至点C， 使得 AC=AC， 作CAP=CAP，并且使得 AP=AP 即把APC 以A 为中心做旋转变换 则APCAPC， BAC120，PAP60 在等腰三角形 PAP中，APPP， PA+PB+PCPP+PB+ PCBC=AB+AC 所以A 是费马点,1,图 1 图 2 2 如果三个内角都在 120以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三 顶点的连线两两夹角为 120的点 如图 2，以B 点为中心，将APB 旋转 60到ABP 因为旋转 60， 且 PB=PB，所以PPB 为正
3、三角形 因此，PA+PB+PC=PA+PP+PC 由此可知当A，P，P，C 四点共线时，PA+PB+PC=PA+PP+PC 为最 小 当A，P，P 共线时，BPP=60，APB=APB=120 同理，若P，P，C 共线时，则BPP=60， BPC=120 所以点P 为满足APB=BPC=CPA=120的点 三、费马点的简单应用 近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子 例 1(2009 浙江湖州-25) 若P 为ABC 所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120，则点 P 叫做 ABC 的费马点 若点 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4， 则 PB
4、 的值为 ； 如图 3，在锐角ABC 外侧作等边ACB，连结 BB 求证：BB过ABC 的费马点P，且 BB=PA+PB+PC 解：(1)PBA+PBC=PBC+PCB=60，PBA=PCB 又APB=BPC=120， PBAPCB， 则 PB2=PAPC=12， 即 PB=2 (2)证明：在 BB上取点 P，使BPC=120，连结 AP，再在 PB上,2,截取 PE=PC，连结 CE PC=CE，AC=CB，PCA=ECB， ACPBCE APC=BEC=120，PA=EB APB=APC=BPC=120， P 为ABC 的费马点，且 BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC 例 2 (20
5、09 北京) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 三个点的坐标分别为 A(-6，0)，B(6，0)， C(0，4)，延长 AC 到点D，使 CD=AC，过点 D 作 DEAB，交 BC 的延长线于 点E (1)求 D 点的坐标； (2)作 C 点关于直线 DE 的对称点F，分别连结 DF，EF，若过 B 点的直线 y=kx+b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，试确定此直线的解析式； (3)设 G 为 y 轴上一点，点P 从直线 y=kx+b 与y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的
6、 2 倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短(要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明) 【析】本题第三问要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明如 果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的 问题，并不容易想到而用费马点的知识就能轻松找出这个 G 点 由于直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐标在第二问当中可求出 M(0，6)，所以， 本题第三问便可以转化为：AOOM 于点O，AO=6，MO=6，G 点从 M 出发，向O 点运动到达G 点后，再沿GA 到达 A 点若 G 点在 MO 上运动的速度是它在GA 上 运动速度的 2
7、 倍，试确定 G 点的位置 (如图 5，G 点按照上述要求到达 A 点所用的时间为 t) 解法一： 方程解法,设 GO=x，则 MG=6,x，AG,则 t,3,移项平方得：3x2+(12,4t)x +36+24,t-4t2=0,N,G,方程有解， =(12-4t)2-12(36+24t-4t2)0 解 得t6， 将 t=6代回方程，求出 x=2时，t 最小 解法二：费马点解法 如图 6，要使MG+AG 最小，即使 MG+2AG 最小 作A 关于MO 的对称点 A， 则 MG+2AG=MG+AG+AG， 即 MG+AG+AG 最小故 G 为AAM 的费尔马点作GAO=30，交 MO 于 G 点，
8、 则AGM=AGM=AG A=120，故 G 点为所求 OG=2 由此利用费马点的解法可以看出： 当动点G 在OM 上的运动速度是在AG 上的 2 倍的时候，动点的位置与 MO 的 长度无关，与 AO 的长度有关，GO 长是 AO 长的倍 2009 北京中考 25 题最后一问不需证明其实证明也很简单！（仅供参考） K,M Q AOB 其中 K 为 DE 与 y 轴的交点，由前两个问题容易得知ABK 为等边三角形， G 为 y 轴上的,2,任意一点，作GN BK , BKO 30 , GN 1 KG ,故速度为 2v 走完 KG 所用的时间等于,速度为v 走完GN 所用的时间，即 KG GN ，故以2v 速度走完 KG 和以v 走完GA 的时间和,4,2vv 其实就是以v 速度走完路程 AG GN ,由速度一定，路程最短，时间最少！再由垂线段最短, 最短路程就是 AM ,此时G 点就是Q 点。求该点坐标就不难了
