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1、第一章 微分学第一节 数数是数学面对的基本对象。我们从熟悉数开始。什么是数？我们现在来构造它。定义：数轴是一条规定了起点、方向和单位长度的直线。起点称为0点，方向向右，单位长度称为1。如图：0 1于是，以0点为圆心，以1的长度为半径向右画弧，可得弧与直线的交点，记为1点。又以1点为心，1的长度为半径再画弧得交点，记为2点。如此下去，记为n点。于是，我们在数轴上得到了无限多个点的集合N，称此为自然数集。这个集合根据构造，有如下特点： （1），这是最基本的元素，是对事物质的规定。（2），称此为归纳原理。这是对事物量的发展。问题来了，这些数N如何表示？它们有什么性质？这是中国古代关于大数的表示：元代
2、著名数学家朱世杰在他的经典著作算学启蒙“大数之类”一段中记载：“凡数之大者，天莫能盖，地莫能载，其数不能极，故谓之大数也。”“一，十，百，千，万，十万，百万，千万，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他，万万那由他曰不可思议，万万不可思议曰无量数。”先说集合，它比数更基本。集合是不定义名词，是关注对象全体的抽象。抽象表达的形式是符号。符号就是一些表意的图形。集合尽管是符号，但对它的内涵还是有要求的。我们说给定集合A指的是：中元素的规定。（注意，集合仅
3、是规定它的元素，没有构造的意思。）规定必须做到：（1） A与非A可识别（2） A内元素可区别（3） A中元素是不可分割的最小单位（4） A自己不能作为A中的元素前3个要求是自然的，为什么要加入第4个要求？罗素悖论：若集合放松第4个要求，那么，把一切集合分成A，B两类，和。 问属于哪一类？若则与的定义矛盾，若，则，这又与的定义矛盾。所以，集合本身不能属于自己。否则，会造成逻辑上层次的混淆。注：把单个元素也可以看成是一个集合，与有层次上的差别，。集合有全集、子集和空集，有基本的运算：并、交和取余，运算有交换律、结合律和分配律成立，等等性质。这里就不再详细展开。自然数集合的十进制表示：令集合是一些符
4、号，称其为阿拉伯数字。（注：据考证此符号最早来源于古印度。）我们用它来表示同类项中量的多少的规定。把所谓“数数”叫做加法。用符号“+”表示。（加法符号的由来查百度网，很方便。）加法是人类文明跨入抽象思维的第一步，在人对物的质的规定认识清楚后，加法是量的关系中最简单最直观的运算。其本质是同类东西的合并“合并同类项”。它与集合的并是有本质区别的，。这里的7不是所具有的东西。这是加法带来的内涵。定义: 对自然数集N（就是前面数轴上构造的那些点。）规定十进制加法表示如下：， ， ， ，。（逢十进一）由此规定，当，那么，其中，。并称为自然数集A的十进制表示。显然，由加法的定义得出，即交换律和结合律成立，
5、等等。 加法的几何意义从数轴上看是明显的。以点为圆心，的长度为半径画弧得到的交点。结论：自然数集N是一个有加法运算结构的特殊集合。注：自然数集除了我们熟知的十进制表示，还可有二进制表示。故它的表示是不唯一的。不管几进制，运算封闭，有零元，有单位元，交换律和结合律成立是本质的。 自然数集的扩张： 可以按构造自然数集的规则中把向右画弧改成向左，（另一种规则！）所得交点的全体集合记成。由此得，任何一个N中的点都有一个中对称的点与之对应，称它为的负元。把它们合并，称为整数集。我们把再自然数集中的加法的概念推广到整数集中，规定：。这样，的对称点就是，所以，。所以，即负负得正。这是我们第一次通过规定得到的
6、逻辑结果。为什么要这样做？从逻辑的角度，我们常常会面对加法的反问题：。这种在整数集中未知元的求解问题就可以由此来定义加法的逆运算减法。注意，所以，仅在自然数集N中，求未知数加某一已知数使得等于另一已知数的运算是不封闭的。此外，所谓减法运算与负元的加法是一个问题的两个方面，从物理上看，加号是规定物体向右运动，减号是物体向左运动。 我们看到，反问题可以加深我们对概念理解。 进一步，在整数集合中，如果遇到多个相同元素相加，即“连加”。可以再定义一种新的运算乘法。（这仅仅是乘法的一种含义！）且规定。如： ，它的含义是“提取公因子”，它可以简化加法运算。由定义知，等等运算性质。整数集有了加法和乘法运算，
7、内容就丰富多了，最有意思的问题就是整数的因子分解。如至今还没有解决的问题哥德巴赫猜想：任何一个合数可以写成二个素数之和。注：乘法还有复合运算的含义，它比“提取公因式”的内涵深刻得多。可以证明，整数中关于乘法运算仍是封闭的。但是关于乘法的逆运算除法，即反问题：？的求解问题，在中又不行了。 我们又需要把整数集扩张。规定：。称为的逆元，记。含义是分割。即将1分成等分中的一份，在数轴上点的位置可以通过等分单位线段得到。它们是在数轴上生成的一些新的点集。定义：含有0和1两个元素，且对所有关于加法和乘法及其它们的逆运算（减和除）都封闭的点的集合称为有理数集，记成。根据有理数集的构造，有形式： ，我们把这样
8、的数称为分数或称有理数。（其实称分割数或比例数更合适，几何意义更明显。但我们必须尊重历史，不能改变历史。） 根据有理数的可分性，有理数集有一个重要性质就是，它在数轴上是处处稠密的。即任意两个有理数中间一定有另一个有理数。问题来了，是不是所有理数集充满了整个数轴？请看数和的作图，如图：斜边的长是所有有理数平方小于2的一个上界。这个长度是无法通过有限次分割得到。可以证明，数轴上有无穷多的点是无法通过有限次“等分分割”得到的。但是可以感觉到，我们能用“等分分割”得到的点不断去接近这些点。这就是利用了有理数集在数轴上的稠密性。我们可以找到一个有理数列与该点无限接近。于是，我们为“无限接近”引入一个重要
9、的基本概念数列的极限。请看如下数列： ，那么有： ， ，。所以，我们可以构造一个有理数序列，使得它可以无限逼近数。采用这种无限逼近的方法，数轴上每一个点，我们可以用分割得到的点来得到。 这个事实很重要，我们把这一事实归纳陈述如下：一个数列就是数轴上可以与自然数集一一对应的点的集合。这样的数列可以有无限多，我们可以把所有这样的的数列分成两类，一类是能无限接近某点的数列，记成，如，等等。另一类是不能无限接近某点的数列，如，等等。把所有与第一类中有理数列无限接近的点扩张到数集中：，称其为实数集。且不是有理数的实数称为无理数。可见无理数是无限不循环小数。实数集与数轴是一一对应的。即任何实数对应数轴上唯
10、一一个点，且数轴上任意点有唯一的实数与该点对应。这是一个很重要的假定，数学上称为连续统假设。也称为实数集的完备性。我们还可以把改写成其他的极限运算的符号形式：和极限加上无穷小的形式。称为无穷小，就是无限接近0的任意数列。极限的严格专业术语陈述为：。（不去管它！）由此，我们可得出无穷小的性质：无穷小的加、减、乘运算是封闭的，且无穷小乘任意有限数仍为无穷小。（为什么除不行？）由此，可得出极限运算有性质：如果，那么，。即极限也可以方便的做加减乘除运算，并且在实数集上运算是封闭的。并且幂运算、指数运算、对数运算、三角运算都是封闭的。利用极限的运算性质，可以方便的求得实数数列的极限。但我们需要保证数列有
11、极限才能做四则运算，没有极限的数列，极限的加减乘除运算性质是不一定成立的。具体举例：例如， ， ， ，。例1.例2.例3.充分性判断： ，（1） ；（2）。有一类数列极限的存在性是通过分析得出来的，我们有二个重要定理。定理一：，且，则。称其为夹逼定理。定理二：数列单调、有界，则。也称单调有界有极限。 两个重要极限：（1）证明：我们证明数列单调递增、有界，故有极限存在。因为， 。所以，有界。又因为，。所以，单调递增。这个极限是个无理数，把它记成。由于对任意正实数，有使得，再由单调增性，再由夹逼定理，我们有极限公式：。又因为， 。 所以，不论向左还是向右趋于正负无穷，都有成立。这是在网上下载的一个
12、关于这个极限的有趣故事：最终经现场70余人投票，王尊（吉林大学汽车工程学院）凭借他别出心裁的以数学公式为切入点的作品荣获冠军。（2），此意味对任意趋于0的实数列，都有成立。证明：因为当，有。从图形上看这是明显的。由，再由，倒过来，不等式反号，所以，因为，再由夹逼定理，最后得，。又因为当，。所以，不论从左还是从右边趋于零极限公式都成立。这两个重要极限我们后面要用到。数的概念、运算、性质和极限的概念就讲这些，我们有些练习要做，只要求理解。关键是要掌握数列极限的概念。下面讲数与数之间的关系，为此我们要引入重要的基本概念函数。第二节函数函数我们在高中就学过了。这是我们后面要面对的基本对象。这里我们换一
13、种直观几何的叙述方式。首先，利用数轴建立直角坐标系。1 直角坐标把两个数轴在0点垂直相交就建立了一个平面上的直角坐标系。如图： Y P 0 X这样，平面上的任何一点P就与它的坐标二元数组建立了一一对应关系。这种点与数的关系的建立，看似简单，有了坐标，它把许多几何上的直观概念用方程的形式联系起来了。数和形的关系就得到了统一。平面上点集合的一些基本概念：图形：平面上任意点的子集。曲线与方程：曲线是平面上点的轨迹，方程是含未知数的等式。在直角坐标系上，曲线与方程可以建立一个对应关系，曲线可用方程表示，也可用参数方程，表示。如，直线： 。单位圆：，或，。抛物线： 。等等。所以，在有了直角坐标系之下，曲
14、线就是方程，方程也是曲线。代数与几何可以方便的联系在一起。根据曲线的直观特点，我们把曲线又分成：有间断点的曲线，称为分段曲线；没有间断的曲线，称为连续曲线；没有“尖点”的曲线，称为光滑曲线。如，是分段曲线，是有尖点的曲线，是光滑的闭合曲线，是有尖点的闭合曲线，等等。 以上的内容很重要，从图形上来理解函数，会很方便。如果我们对平面上的曲线进行适当的分割，只关注其中的某一特殊线段，我们就可以定义一类重要的曲线函数。它的严格表述如下。函数：，如果，存在唯一的与之对应。记成。注意，函数有三个关键点：（1） 定义域，自变量的取值范围。它是可以自主限定的。（2） 值域，因变量的取值范围。它是受对应规则限制的，故它是派生的。（3） 对应规则，这里关键是对应是存在唯一的。例1：单位圆：就不是一个函数关系，但加上限制，上半圆。或，下半圆，都在区间上确定了一个函数关系。例2：狄利克雷函数： 当是无理数； 当是有理数。虽然该函数不是一条完整意义上的曲线，且无法画出它的图像，但根据定义，它是一个函数。例3：，；，。这也定义了一个函数，特点是在0点无限震荡。 如果把函数放到直角坐标系上去看，几何直观上看，函数就是一段
