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1、1中考数学二轮复习：几何计算题选讲本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 来 源课件 5 Y K J.Com 八几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。一、三种常用解题方法举例例 1如图，在矩形 ABCD 中，以边 AB 为直径的半圆 O 恰与对边 CD 相切于 T，与对角线 AC 交于 P，PEAB 于 E，AB=10 ，求
2、PE 的长.解法一：（几何法）连结 OT， 则 OTCD，且 OT= AB5 BC=OT=5 ,AC= = 2BC是O 切线，BC2 =CPCA.PC= ，AP=CA-CP= .PEBC ，PE= 5=4.说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.解法二：（代数法）PEBC， . .设： PE=x，则 AE=2 x ，EB=10 2 x.连结 PB. AB是直径，APB=900.在 RtAPB中，PEAB，PBEAPE . .EP=2EB，即 x=2（102x）.解得 x=4. PE=4.说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程
3、的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.解法三：（三角法）连结 PB，则 BPAC.设PAB=在 RtAPB中，AP=10COS ，在 RtAPE中，PE=APsin, PE=10sinCOS.在 RtABC中, BC=5,AC= .sin= ,COS= .PE=10 =4.3说明：在几何计算中，必须注意以下几点：（1）注意“数形结合” ，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.（2）注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.（3）注意几何法、代数法、三角法的灵活
4、运用和综合运用.二.其他题型举例例 2.如图， ABCD 是边长为 2 a 的正方形，AB 为半圆 O 的直径，CE 切O 于 E，与 BA 的延长线交于 F，求 EF 的长.分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.解：连结 OE，CE 切O 于 E， OECF EFOBFC， ，又OE= AB= BC，EF= FB设 EF=x，则 FB=2x，FA=2x2aFE切O 于 E FE2=FAFB，x2=（2x2a）2x解得 x= a， EF= a.例 3已知：如图，O1 与O2 相交于点 A、B，且点 O1 在O2 上，连心线 O1O2 交O
5、1 于点 C、D，交O2 于点 E，过点 C 作 CFCE，交 EA 的延长线于点 F，若 DE=2，AE= （1）求证：EF 是O1 的切线；（2）求线段 CF 的长；4（3）求 tanDAE的值.分析：（1）连结 O1A，O1E 是O2 的直径，O1AEF，从而知EF 是O1 的切线.（2）由已知条件 DE=2，AE= ，且 EA、EDC 分别是O1 的切线和割线，运用切割线定理 EA2=EDEC，可求得 EC=10.由 CFCE ，可得 CF 是O1 的切线，从而 FC=FA.在 RtEFC中，设 CF= x，则 FE= x+ .又 CE=10，由勾股定理可得：（x+ ）2= x2+10
6、2，解得 x= .即 CF= .（3）要求 tanDAE的值，通常有两种方法： 构造含DAE 的直角三角形；把求 tanDAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：分别求出两线段（对边和邻边）的值；整体求出两线段（对边和邻边）的比值.解：（ 1）连结 O1A，O1E是O2 的直径，O1AEFEF是O1 的切线.（2）DE=2，AE= ，且 EA、EDC 分别是O1 的切线和割线EA2=EDEC，EC=10由 CFCE，可得 CF 是O1 的切线，从而 FC=FA.在 RtEFC中，设 CF= x，则 FE= x+ .又 CE=10，由勾股定理可
7、得：（x+ ）2= x2+102，解得 x= .即 CF= .5（3）解法一：（构造含DAE 的直角三角形）作 DGAE 于 G，求 AG 和 DG 的值.分析已知条件，在 RtA O1E 中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6） ，又 DE=2，且DGA O1（因为 DGAE） ，运用平行分线段成比例可求得 DG= 从而 tanDAE= .解法二：（等角转化）连结 AC，由 EA 是 O1 的切线知DAE=ACD.只需求tanACD.易得CAD=900 ，所以只需求 的值即可.观察和分析图形，可得ADECAE， .从而 tanACD= ，即 tanDAE= .说明：（1）从已知条件出
8、发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求 CF 的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出 CE 的长.（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.例 4.如图，已知矩形 ABCD，以 A 为圆心，AD 为半径的圆交AC、AB 于 M、E，CE 的延长线交A 于 F，CM=2，AB=4.（1）求A 的半径；（2）求 CF 的长和AFC 的面积.解：（ 1）四边形 ABCD 是矩形，CD=AB=4，在 RtACD中，AC2=CD2+AD2，（2+AD）2=42+AD2，解得 AD=3.（2）A 作 AGEF 于 G.BG=3，BE
9、=ABAE=1，CE= 由 CECF=CD2，得 CF= .又6B=AGE=900，BEC=GEA ，BCEGAE. ，即 SAFC= CFAG= .例 5.如图， ABC内接于 O，BC=4，SABC= ，B 为锐角，且关于 x 的方程 x24xcosB+1=0 有两个相等的实数根.D 是劣弧AC 上的任一点（点 D 不与点 A、C 重合） ，DE 平分ADC，交O于点 E，交 AC 于点 F.（1）求B 的度数；（2）求 CE 的长. 分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.解：（ 1）关于 x 的方程 x24xcosB+1=0 有两个相等的
10、实数根，=（-4cosB）2-4=0.cosB= ，或 cosB=- （舍去）.又B 为锐角，B=600.（2）点 A 作 AHBC，垂足为 H. SABC= BCAH= BCABsin600= ，解得 AB=6在 RtABH中，BH=ABcos600=6 =3，AH=ABsin600=6 ，CH=BC-BH=4-3=1. 在RtACH中， AC2+CH2=27+1=28.AC= （负值舍去）.AC= .连结 AE，在圆内接四边形 ABCD 中，B+ADC=1800，ADC=1200. 又DE 平分7ADC，EDC=600=EAC. 又AEC=B=600，AEC=EAC，CE=AC= .例 6
11、. 已知：如图，O 的半径为 r，CE 切O 于点 C，且与弦AB 的延长线交于点 E，CDAB 于 D.如果 CE=2BE，且 AC、BC的长是关于 x 的方程 x23（r2 ）x+ r24=0 的两个实数根.求（1）AC、 BC 的长；（2）CD 的长.分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得ECBEAC，AC=2BC. 又AC 、BC 是方程的两根，由根与系数关系可列出关于 AC、BC 的方程组求解.（2）CD 是 RtCDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过 C 作直径 CF，连结 AF，则RtCDBRtCAF，据此可列式计算.解：（ 1）CE 切O 于 C，E
12、CB=A.又E 是公共角，ECBEAC， ，AC=2BC.由 AC、BC 的长是关于 x 的方程 x23（r2）x+ r24=0 的两个实数根，AC+BC=3 （r-2） ；ACBC=r2-4，解得 r=6，BC=4，AC=8.（2）CO 并延长交 O 于 F，连结 AF，则CAF=900，CFA=CBD. CDB=900=CAF，CAFCDB， .CD= .说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.例 7.如图， ABC内接于 O，AB 是O 的直径，PA
13、是过 A 点8的直线，PAC=B.（1）求证：PA 是 O 的切线；（2）如果弦 CD 交 AB 于 E，CD 的延长线交 PA 于F，AC=CEEB=65，AEEB=23，求 AB 的长和FCB 的正切值.解：（ 1）AB 是O 的直径，ACB=900. CAB+B=900，又PAC=B，CAB+PAC=900.即PAAB， PA是O 的切线.（2）设 CE=6a ,AE=2x,则 ED=5a，EB=3 x.由相交弦定理，得 2x3x=5a6a x= a. 连结AD.由 BCEDAE，得 .连结 BD.由BEDCEA，得 .BD= .由勾股定理得 BC= ，AD= . .两边平方，整理得 ， （负值舍去）.AD= .FCB=BAD，tanFCB= tanBAD= .解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.来 源课件 5 Y K J.Com9
