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1、第12讲 相似三角形的基本模型1、 相似三角形的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6） 双垂型： 二例题精讲A字型例1：如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E 求证： 例2：已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, ACDEB求证：（1）； （2） 例3：已知：如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证
2、： 双垂型例1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45，求这个正比例函数的表达式 例2.在ABC中，AC=BC，ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点求证：MC：NC=AP：PB 练习：1、如图，在ABC中，A=60，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，ABC和BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。3、如图，已知AD为ABC的角
3、平分线，EF为AD的垂直平分线求证：2、已知：AD是RtABC中A的平分线，C=90，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)AMENMD; (2)ND=NCNB4、已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一点，CFBE于F。求证：EBDF=AEDB母子型一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高结论：
4、（1）ACDCBD，BDCBCA，CDABCA（2）ACDCBD中， BDCBCA中，CDABCA中，2、条件：如图，已知ACD=ABC 结论：ACDABC中，类型一：三角形中的母子型【例1】.如图,ABC中,A=DBC,BC=,SBCDSABC=23,则CD=_.【练】如图，D 是 ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ACD =B 求AC的长.【例2】如图，在ABC中，AD为A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：【练】已知CD是的高，如图，求证：类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过
5、D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证： 练习：1.如图5,RtABC中,ACB=90,CDAB,AC=8,BC=6,则AD=_,CD=_.2.如图1,ADC=ACB=90,1=B,AC=5,AB=6,则AD=_.3.如图，CD 是 RtABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD的长.“K字型”相似专题 【一】K字型相似基本图形1:条件：B，C，E三点共线,B=ACD=E=90结论：ABCCED【应用】1如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BCx轴于点C，点P为线段OC上一点，且PAPB则点P的坐标为 2如图，在梯形ABCD中，已知ADBC，B=90，A
6、B=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EFDE，交直线AB于点F（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长 备用图3.探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图）：（1）请就图证明上述“模块”的合理性已知：A=D=BCE=90，求证：ABCDCE；（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：如图，已知点A（-2，1），点B在直线y=-2x+3上运动，若AOB=90，求此时点B的坐标；如图，过点A（-2，1）作x
7、轴与y轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标【二】K字型相似基本图形2:条件：B，D，C三点共线,B=EDF=C= 结论：BDECFD如图，D、C、E三点共线，BAD=CAE，请结合现有图形，添加一个适当的条件：_，使得ABCADE【应用】1.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4，COA=60。，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O、点A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，为等腰三角形，求这时点P的坐标 ；（3）当点P运动什么位置时使得CPD=OAB ；且=
8、求这时点P的坐标2、如图8，在RtABC中，C=90，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DFDE，DF与射线BC相交于点F。(1)、如图9，当点D是边AB的中点时，求证：(2)、当，求的值作业1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DECA交AB于E，点P是线段AC上的一动点，连接PE探究：当动点P运动到AC边上什么位置时，APEEDB？请你画出图形并证明APEEDB2.如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一点，CFBE于F，求证：EBDF=AEBD3.已知在ABC中，ABC=90，AB=3，BC=4点Q是线段AC上的一个动点，过点Q
9、作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P（1）当点P在线段AB上时，求证：APQABC；（2）当PQB为等腰三角形时，求AP的长4.(1)如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于点D求证：AB2ADAC；(2)如图，在RtABC中，ABC=90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F，求的值；(3)在RtABC中，ABC=90，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BED于点E，交直线AC于点F。若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表示)，不必证明 5.已知：如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，且BE=ED，过点B作BFAC，交线段AE的延长线于点F（1）求证：AC=3BF；（2）如果，求证：6.如图，已知等腰RtABC，ACB=90，AC=BC，D为BC边上一动点，BC=nDC，ADEC于点E，延长BE交AC与点F（1）若n=3，则= ，= ；（2）若n=2，求证：AF=2FC；（3）当n=
