《立体几何证明题专题(教师版)分析20页》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何证明题专题(教师版)分析20页（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何证明题考点1：点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；垂直于同一直线的两直线平行；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是_【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题错，中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，错空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面中平行四边形及梯形
2、由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示在正方体ABCDABCD中，直线BBAB，BBCB，但AB与CB不平行，错ABCD，BBABB，但BB与CD不相交，错如图(2)所示，ABCD，BCAD，四边形ABCD不是平行四边形，故也错【答案】2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、
3、m的公垂线段平行的那一条直线对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条3.已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行答案C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则ab，与a，b异面矛盾考点2：共点、共线、共面问题例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()【解析】在A中易证PSQR，P、Q、R、S四点共面在C中易证PQSR，P、Q、R、S四点共面在D中，QR平面ABC，
4、PS面ABC P且PQR，直线PS与QR为异面直线P、Q、R、S四点不共面 在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，P、N、R、S四点共面，设为.可证PSQN，P、Q、N、S四点共面，设为.、都经过P、N、S三点，与重合，P、Q、R、S四点共面【答案】D2.空间四点中，三点共线是这四点共面的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A3.下面三条直线一定共面的是()Aa、b、c两两平行 Ba、b、c两两相交Cab，c与a、b均相交 Da、b、c两两垂直答案C4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线
5、互相平行或者相交于一点【解析】设a，b，c，由a，b，则abO，如图(1)，或ab，如图(2)，若abO，Oa，a，则O，Ob，b，则O，又c，因此Oc；若ab，a，b，则a，又a，c，则ac.因此三条交线相交于一点或互相平行5.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且.(1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点(2)若在本题中，2，3，其他条件不变求证：EH、FG、BD三线共点【解析】(1)E，H分别是AB，AD的中点，由中位线定理可知，EH綊BD.又，在CBD中，FGBD，且FGBD.由公理4知，EHFG，且EHHG.四边形E
6、FGH为梯形设EH与FG交于点P，则P平面ABD，P平面BCD.P在两平面的交线BD上EH、FG、BD三线共点考点3：异面直线的夹角1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点求BD1与CE所成角的余弦值【解析】连接AD1，A1D交点为M，连接ME，MC，则MEC(或其补角)即为异面直线BD1与CE所成的角，设AB1，CE，MEBD1，CM2CD2DM2.在MEC中，cosMEC，因此异面直线BD1与CE所成角的余弦值为.2.如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是_答案3.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12
7、AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B. C. D.答案C解析连接BA1，则CD1BA1，于是A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB1，则BE，BA1，A1E1，在A1BE中，cosA1BE，选C.4.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_【解析】取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EFB1C1BC，AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则有EF2a，AFa，AE3a.在AEF中，cosAEF.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值
8、是.【答案】考点4：直线与平面平行的判定与性质1.下列命题中正确的是_若直线a不在内，则a；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交答案解析aA时，a不在内，错；直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；l时，内的直线与l平行或异面，故错；ab，b时，a或a，故错；l，则l与无公共点，l与内任何一条直线都无公共点，正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，正确2.给出下列四个命题：
9、若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行其中正确命题的个数是_个答案1解析命题错，需说明这条直线在平面外命题错，需说明这条直线在平面外命题正确，由线面平行的判定定理可知命题错，需说明另一条直线在平面外3.已知不重合的直线a，b和平面，若a，b，则ab；若a，b，则ab；若ab，b，则a；若ab，a，则b或b，上面命题中正确的是_(填序号)答案解析若a，b，则a，b平行或异面；
10、若a，b，则a，b平行、相交、异面都有可能；若ab，b，a或a.4.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且APDQ.求证：PQ平面BCE.【证明】方法一如图所示作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AEBD.又APDQ，PEQB.又PMABQN，.PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK.AEBD，APDQ，PEBQ，.又ADBK，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ
11、平面BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，连接QM.PM平面BCE.又平面ABEF平面BCEBE，PMBE，.又AEBD，APDQ，PEBQ.，.MQAD.又ADBC，MQBC，MQ平面BCE.又PMMQM，平面PMQ平面BCE.又PQ平面PMQ，PQ平面BCE.5.一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)求证：MN平面CDEF；求多面体ACDEF的体积解析(1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且ABBCBF2，DECF2，CBF90.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知：NGCF，M
12、GEF.又MGNGG，CFEFF，平面MNG平面CDEF，MN平面CDEF.(2)作AHDE于H，由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱，AH平面CDEF，且AH.VACDEFS四边形CDEFAH22.6.若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面()A不存在B有且只有一个C可以有两个 D有无数多个答案B7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.【证明】方法一如右图，作MEBC，交BB1于E；作NFAD，交AB于F，连接EF，则EF平面AA1B1B.BDB1C，DNCM，B1MBN.，MENF.又MEBCADNF，MEFN为平行四边形NMEF.又MN面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法二如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P平面AA1B1B.NDCNBP，.又CMDN，B1CBD，MNB1P.B1P平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法三如右图，作MPBB1，交BC于点P，连接NP.MP
