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1、不问收获,但问耕耘,把最好的资料送给最好的自己!大学,高等数学,竞赛训练,试题姓名:XXX时间:20XX年X月X日一、(本大题共4小题,每小题6分,共24分)计算下列各题(要求写出计算步骤) 1) 解:因为 所以,原式 2)设,求。 解:因为 所以。 3)求,其中。 解:4)求幂级数的和函数,并求级数的和。 解:设,则有上式两边关于求导得 。 二、(本题共16分)设为数列,为有限数,求证: 1)如果,则 2)如果存在正整数,使得,则。 证明:1)因为所以存在有。 对任意的,存在整数,当时有 又因为存在整数当有,所以取 当时有这就证明。 2)设,则有。 三、(本题共15分)设函数在闭区间上具有连
2、续的三阶导数,且。求证:在开区间内至少存在一点,使得。 证明:因为,在之间,所以,其中, 又因为在上连续在之间,由介值定理可得,存在使得。 四、(本题共15分)在平面上,有一条从点向右的射线,其线密度为。在点处(其中)有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。 解:用微元法计算,设此射线上一小段为,其上一点的坐标为,此小段对质点的引力方向为,大小为,由此可得该射线对质点的引力为五、(本题共15分)设是由方程所确定的隐函数,且具有二阶连续偏导数。求证:和。 证明:此题是错题。 六、(本题共15分)设函数连续,为常数,是单位球面。记第一型曲面积分为。求证:证明:当时, 。 当不全为零时,用微元法证明。 用平面去切球面,其中 设平面切球面所得半弦长,则 所切小环带展开后长为,宽为。 高等数学 竞赛 试题 没有谁的幸运凭空而来,只有当你足够努力,你才会足够幸运。这世界不会辜负每一份努力和坚持,时光不会怠慢执着而勇敢的每一个人!一粒尘埃,在空气中凝聚,最后生成磅礴的风雨;一粒沙石,在蚌体内打磨,最后结成昂贵的珍珠。有时候,渺小的开始,可以成就雄伟而宏大的事业;有时候,平凡的开始,可以走出崇高而伟大的人生! -致每个在奋斗努力的人