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1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016台州高二检测)函数y=lgx的导数为()A.1xB.1xln10C.1xln10D.1xlge【解析】选C.因为(logax)=1xlna,所以(lgx)=1xln10.2.(2016泉州高二检测)已知f(x)=sinx+lnx,则f(1)的值为()A.1-cos1B.1+cos1C.-1+cos1D.-1-c
2、os1【解析】选B.f(x)=cosx+1x,f(1)=cos1+1.3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是()A.0,43B.43,+C.(-,0)D.(-,0)43,+【解析】选A.f(x)=2x2-x3,f(x)=4x-3x2,由f(x)0得0x43.4.已知物体的运动方程是s=13t3-4t2+12t(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是()A.0秒、2秒或6秒B.2秒或16秒C.2秒、8秒或16秒D.2秒或6秒【解析】选D.s=t2-8t+12=0,解得t=2或t=6.5.函数y=2x3-2x2在上的最大值为()A.-5B.0C.-1D.8【解析】选D
3、.y=6x2-4x=2x(3x-2),列表:x-1(-1,0)00,232323,22y+-+y-40-8278所以ymax=8.6.(2016临沂高二检测)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是()A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,3)D.(1,0)【解析】选C.f(x)=3x+1.设P0(x0,y0),则3x0+1=4,解得x0=1.因为(x0,y0)在直线4x-y-1=0上,所以y0=3.所以点P0的坐标为(1,3).7.若x=1是函数f(x)=(ax-2)ex的一个极值点,则a的值为()A.1B.2C.eD.5【解析】选A.因为f(x)=
4、aex+(ax-2)ex,所以f(1)=ae+(a-2)e=0,解得:a=1,把a=1代入函数得:f(x)=(x-2)ex,所以f(x)=ex+(x-2)ex=ex(x-1),所以f(1)=0,且x1时,f(x)1时,f(x)0.故a=1符合题意.8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27且用料最省,则圆柱的底面半径为()A.5B.6C.3D.2【解析】选C.设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则V=R2l=27,所以l=27R2.要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,而S表=R2+2Rl=R2+54R,令S表=2R-54R2=0,解得R=3,即当R=3时,S表最小.9.(2016菏泽高二检
5、测)函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()A.(0,1)B.(-,1)C.(0,+)D.0,12【解析】选D.f(x)=3x2-6b,因为f(x)在(0,1)内有极小值,所以f(x)=0在x(0,1)有解.所以f(0)0,所以0b12.10.(2016合肥高二检测)设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()【解析】选C.y=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),由y=0得x=a或x=a+2b3.因为ab,所以aa+2b3,所以当x=a时,y取极大值0;当x=a+2b3时,y取极小值且极小值为负.11.(2016
6、烟台高二检测)已知a0,函数f(x)=ax3+12alnx,且f(1)的最小值是-12,则实数a的值为()A.2B.-2C.4D.-4【解析】选B.f(x)=3ax2+12ax,所以f(1)=3a+12a-12,即a+4a-4,又a0,有a+4a-4.故a+4a=-4,此时a=-2.12.(2016全国卷)若函数f(x)=x-13sin2x+asinx在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.B.-1,13C.-13,13D.-1,-13【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-13sin2x-sinx,f(x)=1-23cos2x-cosx,但f(0)=1-23-1=
7、-232-32-3,故函数y=x+2cosx-3在区间0,2上的最大值是6.答案:6【补偿训练】曲线y=13x3-2以点1,-53为切点的切线的倾斜角为.【解析】y=x2,当x=1时,y=1,从而切线的倾斜角为45.答案:4516.设f(x)=x3-12x2-2x+5,当x时,f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是.【解析】f(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),令f(x)=0,得x=1或x=-23.f(x)极小值=f(1)=1-12-2+5=72,f(x)极大值=f-23=-827-29+43+5=52227.又f(-1)=-1-12+2+5=112,f(2)=8-2-4+5=7,
8、比较可得f(x)max=f(2)=7.因为f(x)7.答案:(7,+)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016南昌高二检测)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】f(x)=18x2+6(a+2)x+2a.(1)由已知有f(x1)=f(x2)=0,从而x1x2=2a18=1,所以a=9.(2)由于=36(a+2)2-4182a=36(a
9、2+4)0,所以不存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数.【补偿训练】已知函数f(x)=12ax2+2x-lnx.(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)若f(x)在区间13,2上是增函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为(0,+).因为f(x)=12ax2+2x-lnx,当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f(x)=2-1x,令f(x)=0得x=12,所以当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表x0,121212,+f(x)-0+f(x)极小值所以当x=12时,f(x)的极小值为1+ln2,无极大值.(2)由已知,得f(x)=12ax2+2x-lnx,且x0
10、,则f(x)=ax+2-1x=ax2+2x-1x.若a=0,由f(x)0得x12,显然不合题意;若a0,因为函数f(x)在区间13,2上是增函数,所以f(x)0对x13,2恒成立,即不等式ax2+2x-10对x13,2恒成立,即a1-2xx2=1x2-2x=1x-12-1恒成立,故a1x-12-1max.而当x=13时,函数1x-12-1的最大值为3,所以实数a的取值范围为a3.18.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)因为f(x
11、)=(x3+x-16)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-x4+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=3x02+1=4,所以x0=1,所以x0=1,y0=-14,或x0=-1,y0=-18.即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.19.(12分)(2016临沂高二检测)已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=-ax2+2x-1x(x0),因为x=2时,f(x)取得极值,所以f(2)=0,解之得a=-34,经检验符合题意.(2)由题意知f(x)0在x0时恒成立,即ax2+2x-10在x0时恒成立,则a1-2xx2=1x-12-1在x0时恒成立,即a1x-12-1min(x0),当x=1时,1x-12-1
