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1、河南新郑一中 02-03 年上学期高二数学期中考试一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1若 ab，且 ，则有（ ）1Aa0 且 b0 Ba 0 且 b0 Ca0 且 b0 Da0 且 b02如果 0mba ，那么（ ）Acos cos cos B cos cos cosmmaCcos cos cos Dcos cos cosaa3若直线 ax+by+c=0 经过第一、二、三象限，则有（ ）Aab0，bc0 Bab 0，bc0 Cab0，bc0 Dab0，bc04已知- ，则 - 的取值范围是（ ）22A （-，0） B （-，） C D,22,5若直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-
2、y-2=0 平行，则 a=（ ）A-3 B-6 C- D336下列函数中，最小值是 2 的是（ ）Ay= （xR，x0） By=lgx+ （1x105lgCy=3 x+3-x（xR） Dy=sinx+ )20(sin7若 m= ，n= （a3） ，那么（ ）1a2Amn B.m=n C.mn D.以上均不对8已知两点 M（2，-3） ，N（-3，-2 ） ，直线 L 过点 P（1，1）且与线段 MN 相交，则直线L 的斜率 k 的取值范围是（ ）Ak 或 k-4 B.-4k4343C k4 D.- k49关于不等式（a 2-1）x 2-（ a-1）x-10 解集为 R，则实数 a 的取值范围是
3、（ ）A B.(-1,1) C.(-1,1) D.1,53 1,5310过点（5，2）且在 x 轴上的截距是 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是（ ）A2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0Cx-2y-1=0 D.x+2y-9=0 或 2x-5y=011若x-a h，y-a k， ，则下列不等式一定成立的是（ ）Ax-y2h B.x-y 2kCx-yh+K D.x-yh-k12过（x 1，y 1）和（x 2，y 2）两点的直线方程是（ ）A 1212B 212xyC （y 2-y1） （x-x 1）-（x 2-x1） （y-y 1）=0D （x 2-x1） （x-x
4、1）- （y 2-y1） （y-y 1）=0第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13若正数 a、b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是 14过点 P（1，2）且与 A（2，3）和 B（4，-5 ）的距离相等的直线方程是 15已知直线 L 的倾斜角为 且 0135，则直线 L 的斜率 K 的取值范围是 16若关于 x 的不等式x+2+x-1 a 的解集为 ，则 a 三、解答题（共 74 分）17已知 x1，求 +x 的最大值。 （10 分）18解不等式x 2+3x-810（12 分）19已知一直线 L 被两平行线 L1：3x+4
5、y-7=0 和 L2：3x+4y+8=0 截得的线段长为 ，且415L 过点 P（2，3） ，求直线 L 的方程。 （12 分）20已知 a0、b0、c 0，求证：a 3+b3+c33abc（13 分）21要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如小表所示：规格类型钢板类型A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3今需要 A、B、C 三种规模的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。 （13 分）22一条直线 L 过点（1，4） ，分别交 x 轴的正方向，
6、y 轴的正方向与 A、B 两点，O 为坐标原点。求（1）ABO 面积最小值时直线 L 的方程。 （7 分）（2）OA+OB 最小值时直线 L 的方程。 （7 分）河南新郑一中 02-03 年上学期高二数学期中考试答案一、选择题15 CADAB 610 CCAAD 1112 CC二、填空题13 9，+ ） 14.3x+2y-7=0 或 4x+y-6=015 （-，-1 ） 16.（- ，3）三、解答题17已知 x1，求 +x 的最大值解：x1 x-10又 +x= +（x-1）+13 +x=- - -（x-1）+1x1x-2 +1)(3x=-2 +1当且仅当- =-（x-1）时 即 x=1- 时等
7、号成立13x318解：原不等式可化为 1082x3601832x或-6x-2 或-1 x3原不等式的解集为x-6x-2 或-1 x319解：当直线 l 的斜率不存在时， l 过 P（2，3）点，l 的方程为 x=2此时 l 与 l1、l 2 的交点分别为 M（2， ） ，N （2，- ）417MN= 故 x=2 为所求直线45当直线 l 有斜率时，设 l 的方程为 y-3=k（x-2）l 1 与 l2 之间的距离为 =3 l 1 与 l2 的夹角 的正弦值 sin=587 5413tan= 34 41k解得 k= 27直线 l 的方程为 7x-24y+58=0 综上所述x=2 或 7x-24y
8、+58=0 为所求20.证明：法一：a 3+b3+c3-3abc=（a+b） 3+c3-3a2b-3ab2-3abc=（a+b+c） （a+b） 2-(a+b)c+c2 -3ab（a+b+c）=（a+b+c） （a 2+b2+c2-ab-ac-bc）= （a+b+c）（a-b） 2+（b-c） 2+（c-a） 2 01a 3+b3+c33abc法二：a 3+b3-a2b-ab2=a2（a-b）+b 2（b-a）=（a-b） （a+b） （a-b）=（a-b） 2（a+b）0a 3+b3a 2b+ab2 同理所证：a 3+c3a 2c+ac2 b3+c3b 2c+bc2 +得 2（a 3+b3+
9、c3）a 2b+bc2+ab2+ac2+bc2+a2c=b（a 2+c2）+a（b 2+c2）+c（a 2+b2）b2ac+a2bc+c2ab=6abca 3+b3+c33abc21解：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张023185yxy目标函数为 z=x+y作出可行域作出一组平行直线 x+y=t（t 为参数）其中经过可行域内的并且小于原点距离最近的直线，此直线经过直线 x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A ，直线方程为 x+y= ，由539,18527于 和 不是最优解，经过可行域内整并且与原点距离最近的直线是 x+y=12。经过的51839整点是（3，9）和（4，8）它们且最优解答：需截第一种钢板 3 张，第二种钢板 9 张，或截第一种钢板 4 张，第二种钢板 8 张22解：设直线 l 的方程为 y-4=k（x-1） （k0令 y=0，得 A（ 1- ，0）令 x=0，得 B（0，4-k）k4（1）S= OAOB2= （1- ） （4-k）k= 8+ +（-k）816当且仅当- =-k，即 k=-4 时，等号成立k此时直线方程为 4x+y-8=0（2）OA+OB =1- +4-k4=5+（ ）+（-k）k45+4=9当且仅当 =-k 时，即 k=-2 时等号成立此时直线 l 的方程为 2x+y-6=0
