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1、普陀区2007学年度第二学期高三年级质量调研数学试卷（文） 一、填空题（本大题满分44分）1. 已知，且，则 .2. 若，其中、是实数，是虚数单位，则 .3. 等差数列中，若，则 . 4. 抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 5. 已知向量，若，则实数 . 6. 在中，若，则 7. 从集合中任取两个元素、（），则方程所对应的曲线表示焦点在轴上的双曲线的概率是 8. 设，若存在，使得，则实数a的取值范围是 9. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 . 10. 设函数，则在区间内有定义且不是单调函数的充要条件是 . 11. 在直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线（）上任意
2、一点，若点在轴、轴上的射影分别为、，则必为定值”.类似地，在直角坐标平面内，对于双曲线（，）上任意一点，若 ，则 必为定值.二、选择题（本大题满分16分）12. “”是“直线和直线垂直”的 （ ） A充分非必要条件； B必要非充分条件； C充要条件； D既非充分又非必要条件.13. 设、是非零向量，若函数，的图像是一条直线，则必有 （ ）A；B； C；D.14. 设集合，集合，且，则实数的取值范围是 （ ）A. ； B. ； C. ； D. .15. 若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面 （ ）A. 一定通过正方体的中心； B. 一定通过正方体一个表面的中心；C. 一定
3、通过正方体的一个顶点； D. 一定构成正多边形.三、解答题（本大题满分90分）ABCDA1B1C1D1M第16题图16.（本题满分12分） 如图，在体积为16的正四棱柱中，点M是的中点，且，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）17. （本题满分12分）已知定理:“如果两个非零向量不平行，那么 ()的充要条件是”. 试用上述定理解答问题：设非零向量与不平行. 已知向量，向量，且. 求与的关系式；并当时，求的取值范围.18. （本题满分14分，其中第1小题5分，第2小题9分）已知函数.（1）若，求的值；（2）若关于的方程在有解，求实数的取值范围. 19. （本题满分16分，其中第1小
4、题6分，第2小题10分）经济学中有一个用来权衡企业生产能力（简称“产能”）的模型，称为“产能边界”.它表示一个企业在产能最大化的条件下，在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合. 例如，某企业在产能最大化条件下，一定时期内能生产A产品台和B产品台，则它们之间形成的函数就是该企业的“产能边界函数”. 现假设该企业的“产能边界函数”为（如图）.（1）试分析该企业的产能边界，分别选用、中的一个序号填写下表：点对应的产量组合实际意义xy800600单位：台O第19题图 这是一种产能未能充分利用的产量组合； 这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合； 这是一种使产能最大化的产量组合.（2）假设A
5、产品每台利润为元，B产品每台利润为A产品每台利润的2倍. 在该企业的产能边界条件下，试为该企业决策，应生产A产品和B产品各多少台才能使企业从中获得最大利润？20. （本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）已知无穷数列中，是以为首项，以为公差的等差数列；是以为首项，以为公比的等比数列；并且对一切正整数，都有成立.（1） 当时，请依次写出数列的前12项；（2） 若，试求的值；（3） 设数列的前项和为，问是否存在的值，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. （本题满分20分，其中第1小题5分，第2小题7分，第3小题8分）已知点的坐标分别是、，直线相交于点P，且它们的斜率之积为（1）求证：点P的轨迹在椭圆上；（2）设过原点的直线交（1）题中的椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率；（3）某同学由（2）题结论为特例作推广，得到如下猜想：设点为椭圆内一点，过椭圆中心的直线与椭圆分别交于、两点. 则当且仅当时，的面积取得最大值.问：此猜想是否正确？若正确，试证明之；若不正确，请说明理由.
