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1、数学教学中对书本例题的使用例谈 书本上的例题和考试的题我国著名的教育家叶圣陶先生说过：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠教师的善于运用。”新课标对教材的使用提出了新的要求：要求“用教材教”而不是“教教材”；不是简单地学教材，而是把教材作为“引子”，作为“材料”；不是把教材奉为神圣不可侵犯的“圣经”，也不能“无教材论”，采取“舍本逐末”的做法，而是根据实际情况对其进行必要的取舍与加工，即要求“用好教材，超越教材”。以下是笔者在教学中对课本例题处理的一个案例。书本例题：已知椭圆C：+，直线L：4x-5y+40=0。椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？此
2、题是人教出版社A版高中数学选修2-1教材第47页例7，本节是直线与椭圆的第一节课，主要内容是如何判断直线与椭圆的位置关系、弦长问题等。但是如果课上按部就班地只讲以上例题显然不能达到教学的目标，还需要再补充别的习题。为此我是这样运用这个例题的。一、复习中走进例题我上课时先给出以下问题：已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆上存在一点p，使F1PF2=60，S=3、求椭圆C的方程。解：F1PF2中，设F1PF2=?琢，|PF1|=m，|PF2|=n，在F1PF2中，由余弦定理可知，2=m2+n2-2mncos?琢=2-2mn-2mncos?琢，mn=、S=mn
3、sin?琢=sin?琢=b2tanQF1PF2=60，?琢=60，b2=3，b2=9椭圆C：+=1、这个问题的解决得益于椭圆的定义，PF1+PF2=2?琢，再结合余弦定理使问题解决。最后总结出了焦点三角形的面积公式：S=b2tan、可以发现当焦点三角形顶角已知时，其面积只与b有关，而和a无关。当学生正在为得出这样一个结论而开心的时候我又给出了第2个问题。二、拓展追问中完成教学任务试讨论直线l：4x-5y+m=0与椭圆C交点的个数。问题给出后我叫学生自己独立进行思考，我在下面看学生是如何解题的。我发现有部分学生是受判断直线与圆交点个数的影响，想用圆心到直线的距离与半径进行比较大小的方法来做。但是
4、在求出了原点到直线l：4x-5y+m=0的距离后不知道与哪个量进行比大小了。之后我进行讲解，讲解了椭圆与圆的不同之处，本题要判断直线l与椭圆C交点的个数，需要借助方程组解的情况。解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0、=22500-36m2、当m=25时，=0，此时直线l与椭圆C相切；当-2525时，通过第题发现许多学生的解题计算能力不强，出现了许多错误，同时提醒同学不要使用计算器。问题解决以后我问，如m=20时直线l与椭圆C的位置关系是什么？学生回答是相交的。好的，我总结道，此时是相交于两点，那么就有如下问题。当m=20时，求直线l被椭圆C所截弦长。学生进行独
5、立思考之后我发现仍有部分同学试图用垂径定理来做，在受阻后改用求交点坐标或者利用弦长公式来求。解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+160x+175=0，=8100、所求弦长为|x2-x1|=、我对这种设而不求的解题方法进行了总结后，又给出了下面的问题：直线l被椭圆C所截弦长为，求直线l的方程。解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0、=22500-36m2、所求弦长为|x2-x1|=、解得m=20、问题解决后我试问学生为什么会有两个解？从几何图像上进一步给出解释。如果解出的m不是20，而是m=-20和m=40，那么该怎么办？让学生学会检验，知道m=40时，
6、此时直线l与椭圆C相离了，所以m=40要舍去。接着我继续给出了第5题。三、回归课本、超越课本当m=40时，求椭圆C上的点到直线l距离的最值。解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0、=22500-36m2 、 当m=25时，=0、此时直线l与椭圆C相切；椭圆的两条切线方程为4x-5y+25=0和4x-5y-25=0、因此椭圆C上的点到直线l距离的最小值为dmin=，椭圆C上的点到直线l距离的最大值为dmax=、第小题不仅仅解决了书本例题中求椭圆C上的点到直线l距离的最小值，还进一步求出了距离的最大值。体现了回归课本而超越课本的思想。现把这5题问题汇总一下，就是如下
7、一个题目：已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆C上存在一点P，使F1PF2=60，S=3、求椭圆C的方程；试讨论直线l与椭圆C交点的个数；当m=20时，求直线l被椭圆C所截弦长；直线l被椭圆C所截弦长为，求直线l的方程；当m=40时，求椭圆C上的点到直线距离的最值。把例题进行以上改编，就是借助教材中例题已经提供的素材与背景，采用拓展追问的方式，引发学生深层次的思维活动，实现“纵向到底”的功效。这种方法的好处是能够培养学生的数学探究能力，发展学生的思维深刻性，运用这种方法的关键是师生都要有强烈的问题意识，勇敢地猜想，大胆地提问，小心地求证。进行改编时，要保
8、证所编题目的可操作性，比如以上题目第小题要保证计算数字不要太繁琐，第小题中，如果是令F1PF2=120，S=9，若运用焦点三角形面积公式，仍然可以得到b2=9，但是这样p点其实是不存在的，因为椭圆+=1的焦点三角形的最大面积才是12，而12“用教材教，而不是教教材”真正的意图是要求教师能够更加灵活地、更富有创造性地使用教材，这就要求教师首先要认真钻研教材，理解教材编写者的意图，吃透教材的精神与实质，把握好教学的重难点，做到“以生为本”“用教材教”。其次要能够读出教材文本的“弦外之音”，读懂教材编写者的“未尽之言”。如果把教材文本呈现的内容看作是“露出海面的冰山一角”，那么“不是教教材”就要求教师能够把“海面以下的巨大冰山托出海面”，让学生领略到“整座冰山”。第 6 页 共 6 页
