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1、习题课一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1. 求.d1lim10xeexxxnn+1,0解 : 因为x时 ,xxneex+10所以xeexxxnd110+0xxnd1011+=n利用夹逼准则得0d1lim10=+xeexxxnn,nx因为依赖于且利用积分中值定理1) 思考例 1下列做法对吗 ?eenn+=1lim原式0=不对 !,n .10 机动 目录 上页 下页
2、 返回 结束说明 :2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . px+11ppxx+=11)10( x1px1如 , P265 题 4+=nnnnnnnnnI1212sinsin1sinlimnull解： 将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：fxxf 处连续在已知+=xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数 , 求.)(x且由方程f方程两端对 x 求导 , 得)( yxf=yttf1d)( yyfx+ )(+xttfy1d)()(xfy+)( yxy+)1(d)()(1fyttfyyfy+=令 x = 1, 得再对 y 求导 , 得)1(1)(
3、fyyf =y3=Cyyf += ln3)(,3,1 = Cy 得令3ln3)( += xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束故例 7.ttttfxfxdcos2sin)()(02+=求可微函数 f (x) 使满足解 : 等式两边对 x 求导 , 得)()(2 xfxfxxxfcos2sin)(+=则不妨设 f (x)0 ,xxxfcos2sin21)(+= xxfxf d)()(+= xxxdcos2sin21Cx += )cos2ln(21机动 目录 上页 下页 返回 结束注意 f (0) = 0, 得3ln21=C3ln21)cos2ln(21)( += xxfxcos23ln21+=
4、机动 目录 上页 下页 返回 结束ttttfxfxdcos2sin)()(02+=Cxxf += )cos2ln(21)(例 8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解 : 令 ,txu =+=+10302d)1(d)( xxttfttxfx=10d)( ttxf则xxuuf01d)(xuuf0d)(+xttfx0d)1(242代入原方程得xx +=两边求导 : )(xf+xttf0d)1()1( + xfxxx 443+=)(xf)1(2 + xf )1( + xfx 4122+= x可见 f (x) 应为二次多项式 ,设cbxaxxf +=2)(代入式比较同次幂系数 , 得.1,4,3 =
5、 cba143)(2+= xxxf故机动 目录 上页 下页 返回 结束再求导 :二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考 : 下列作法是否正确 ?xxx1d1112=112=xxd11113 2+)(3 2xt =令0d23112111=+=ttt机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9. 求.d12ln02xex解 : 令,sintex=则,sinln tx = ,dsincosd tttx =原式( ) tttt dsincoscos62=tttdsinsin126
6、2=ttt d)sin(csc26=coscotcscln ttt +=6223)32(ln +=机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10. 求.d2sin120xxI=解 :xxxI d)cos(sin202=xxx dcossin20=xxx d)sin(cos40=xxx d)cos(sin24+cossin xx+=04sincos xx+42)12(2 =机动 目录 上页 下页 返回 结束2yox4xsinxcostttcbcadcos99+=,c例 11. 选择一个常数 c , 使0d)(cos)(99=+xcxcxba解 : 令 xt +=xcxcxbad)(cos)(99+则
7、因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使)( cbca +=+即2bac+=可使原式为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束例 12. 设,d)(022yexfxyy+=.d)()1(102xxfx求xxfx d)()1(102解 :013)()1(31xfx=xxfx d)()1(31103xexxxd)1(3110232+=2101)1(2)1d()1(612=+xexx)1(2= xu令=10d6ueueu01)1(6ueue+=)2(61= e机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13. 若,1,0)( Cxf 解 : 令试证 :xxfx d)(sin0xxf d)(sin20=x
8、xf d)(sin20=,xt =则xxfx d)(sin0ttft d)(sin)(0=ttf d)(sin0= ttft d)(sin0xxfx d)(sin0xxf d)(sin20=机动 目录 上页 下页 返回 结束因为xxf d)(sin0xxf d)(sin20=xxf d)(sin2+对右端第二个积分令xt =xxf d)(sin220=综上所述xxfx d)(sin0xxf d)(sin20=xxf d)(sin20=机动 目录 上页 下页 返回 结束例 14. 证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0xf :,)2(lim 证明存在若axaxfax
9、+(1) 在 (a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在 (a, b) 内存在点 , 使)(2d)(22fxxfabba=(3) 在 (a, b) 内存在与 相异的点 , 使=baxxfaabf d)(2)(22(03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束证 : (1) ,)2(lim 存在axaxfax+,0)2(lim =+axfax由 f (x)在 a, b上连续 , 知 f (a) = 0. 又 0)( ，xf 所以 f (x) 在 (a, b)内单调增 , 因此),(,0)()( baxafxf =)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxF(2) 设xa=,0)()( =
10、xfxg则 )(),( xgxF故满足柯西中值定理条件 , 于是存在 使),( ba=aabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22()=xxattfxd)()(2机动 目录 上页 下页 返回 结束即)(2d)(22fttfabba=(3) 因0)()( = ff )()( aff = 在 a, 上用拉格朗日中值定理),(),()( aaf =代入 (2)中结论得)(2d)(22afttfabba=因此得=baxxfaabf d)(2)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xf+例 17. 设 ,)( baCxf 且,0)( x证 : 设试证 :f2)()(dd)( abxfxxxfbabattfxFxad)()(=xatft)(d=)(x则F)(1xf+)(2 ax=xa)(tf)(tftd2 ttfxftfxfxad)()()()(2=0)(, xfax0故 F(x) 单调不减 , ,0)()( = aFbF 即成立.)(xf)(xfxattf d)(xatft)(d2)( ax机动 目录 上页 下页 返回 结束作业 (总习题五 )P264 2 (3) , (5) ; 4 ; 5 (1) ;7 (2) , (5) ; 10第四节 目录 上页 下页 返回 结束
