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1、人教版高三第一轮复习数学教案 孟繁露第 1 页 共 4 页高三第一轮复习数学- 两个平面垂直一、教学目标：1掌握平面与平面垂直的概念和判定定理性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题。2在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使得问题获得解决二、教学重点：两平面垂直的定义、判定、性质应用。三、教学过程：（一）主要知识：一） （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做两面角。（2）两面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（3）二面角的大小，可以
2、用它的平面角来度量。范围是： ,0（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。一）平面垂直的定义及判定定理：（1） 定义：两个平面相交，如果它们所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记作：平面 平面 （2） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直，面面垂直）二）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。 ）思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是 .：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。特别注意:用定义时二面角平面角的确定。（二）例题分析：【例
3、 1】(1)对于直线 m、n 和平面 、， 的一个充分条件是（ ）A、mn，m，n B、mn，=m，n C、mn，n，m D、mn，n，m（2）设 a、b 是异面直线，给出下列命题： 经过直线 a 有且仅有一个平面平行于直线 b； 经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b； 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面； 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平面互相垂直。0BA人教版高三第一轮复习数学教案 孟繁露第 2 页 共 4 页其中错误的命题为（ ）A、与 B、与 C、与 D、仅（3）已知平面 平面 ，m 是 内一条直线，n 是 内一条直线，且 mn，那么，甲：m；乙：n 丙：m 或
4、 n；丁：m 且 n。这四个结论中，不正确的三个是（ ）解析（1）对于 A，平面 与 可以平行，也可以相交，但不垂直。对 B，平面 内直线 n 垂直两个平面交线 m，直线 n 与平面 不一定垂直，平面 、 也不一定垂直。对 D，m，mn 则 n 又 n 所以 。只有 C 正确，mn，n 则 m 又 m ，由平面与平面垂直的判定定理，。故选 C。（2）正确过 a 上任一点作 b 的平行线 b， ，则 ab， 确定唯一平面。错误，假设成立则b该平面，而 a 该平面，ab 但 a、b 异面却不一定垂直。正确分别过 a、b 上的任一点作 b、a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。正确，换角
5、度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅错误 选 D(3)丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线 m（或 n）在另一平面作交线的垂线 n（或 m）即可推翻甲、乙、丁三项。思维点拨；解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。【例 2】如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASB=ASC=60 0，BSC=90 0，求证平面 ABC平面 BSC。证明SB=SA=SC，ASB=ASC=60 0。，取的中点，连、，则，为二面角的平面角设又 ， ，2 ， 21 ，从而平面平面。证明要证两平面垂直，证明其二面角的平面角为直角，也是常用方法。【例
6、3】如图平面，四边形是矩形，、分别是、的中点。 （）求平面与平面所成二面角的大小；（）求证：平面平面解（）平面，故为平面与平面所成二面角的平面角，在中 即为所求。（）证明：取中点，连、，则 ，四边形 EA 是平行四边形，21AE。AEPD，AECD，AE平面 PCD，从而平面 PCD， 平面，平面平面思维点拨证明面面垂直通常可先证线面垂直，证线面垂直时有时可先证该直线的平行线与平面垂直。【例 4】如图正方体 中，、分别是 、 、 的中点。ACSB O 人教版高三第一轮复习数学教案 孟繁露第 3 页 共 4 页（） 求证：平面平面。（） 求二面角的平面角的正切值。（）证明、是中点，。又平面 ，从
7、而平面 平面，平面平面。（）解过作于，连结。平面，为在平面内的射影，由三垂线定理得，是二面角的平面角。在中，求得 ， ，23 ，即为二面角的平面角的正切。6NHM思维点拨平面角的二面角找法有：定义法、三垂线定理法、垂面法。（三）巩固练习：1：(1)对于直线 m、n 和平面 、， 的一个充分条件是（ C ）A、mn，m，n B、mn，=m，n C、mn，n，m D、mn，n，m（2）设 a、b 是异面直线，给出下列命题： 经过直线 a 有且仅有一个平面平行于直线 b； 经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b； 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面； 存在分别经过直线 a 和 b 的
8、两个平面互相垂直。其中错误的命题为（ D ）A、与 B、与 C、与 D、仅 2：、 是两个不同的平面，m、n 是平面 及 之外的两条不同直线。给出四个论断：mn；n；m。以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 -正确命题为、3：如图平面，四边形是矩形，、分别是、的中点。 （）求平面与平面所成二面角的大小；（）求证：平面平面解（）平面，故为平面与平面所成二面角的平面角，在中 即为所求。（）证明：取中点，连、，则 ，四边形 EA 是平行四边形，21AE。AEPD，AECD，AE平面 PCD， 人教版高三第一轮复习数学教案 孟繁露第 4 页 共 4 页从而平面 PCD， 平面，平面平面思维点拨证明面面垂直通常可先证线面垂直，证线面垂直时有时可先证该直线的平行线与平面垂直。四、小结：在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的第一线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直” “线面垂直” ， “面面垂直”间的转化条件和转化应用。五、作业：
