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1、 第 1 页 共 76 页 高中数学第一章-集合 榆林教学资源网 http:/ 01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 知识要点知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 A；空集是任何集合的子集，记为 ；空集是任何非空集合的真子集；如果 BA，同时 ，那么 A = B.如果 C， 那 么， .注：Z= 整数 （） Z =
2、全体整数 （）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（）（例：S=N； A=N，则 CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（C AB） = D （ 注 ： CAB = ） .3. （x ， y）|xy =0 ，x R， yR 坐标轴上的点集.（x ， y）|xy 0，x R，yR 二、四象限的点集. 第 2 页 共 76 页 （x ， y）|xy 0，x R，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例： 132 解的集合(2，1).点集与数集的交集是 . （例：A =(x，y )| y =x+1
3、B=y|y =x2+1 则 AB = ）4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子集有 2n2 个.5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.例：若 35bab或， 则 应是真命题.解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ，且1yx yx.解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2.2且 3,故 是 21yx且 的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3. 例：若 25x或， .
4、 4. 集合运算：交、并、补. |,ABABxU交 ： 且并 ： 或补 ： 且C5. 主要性质和运算律（1） 包含关系： ,; ;,.UAABCBAB（2） 等价关系： UC（3） 集合的运算律：交换律： .;A 结合律: )()(;)( BABC 分配律:. )()( CAC0-1 律： ,AUU等幂律： .求补律：AC UA= AC UA=U CUU= CU=U 第 3 页 共 76 页 反演律：C U(AB)= (C UA)(C UB) CU(AB)= (C UA)(C UB)6. 有限集的元素个数定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card(
5、) =0.基本公式：(1)()()()2 ()()cardBcardrcardBCcardArA(3) card( UA)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论.0 0 0二次函数 cbxay2（ 0）的图象一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(221或 R 第 4 页 共 76
6、 页 个个个个p个q个个个个p个q个个个个q个p个个个个个q个p个个个个个 个 个个个个个个个 个个个的 解 集)0(2acbx21x 2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为 )(xgf0(或 )(ff(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性正 确 理 解 奇 、 偶 函 数 的 定 义 。 必 须 把 握 好 两 个 问 题 ：（ 1） 定 义 域 在 数 轴 上 关 于 原 点
7、对 称 是 函 数 )(xf为 奇函 数 或 偶 函 数 的 必 要 不 充 分 条 件 ； （ 2） 或)()(xff是 定 义 域 上 的 恒 等 式 。 2 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称 图 形 ， 偶 函 数的 图 象 关 于 y轴 成 轴 对 称 图 形 。 反 之 亦 真 ， 因 此 ， 也可 以 利 用 函 数 图 象 的 对 称 性 去 判 断 函 数 的 奇 偶 性 。 3.奇 函 数 在 对 称 区 间 同 增 同 减 ； 偶 函 数 在 对 称 区 间 增减 性 相 反 . 4 如 果 )(xf是 偶 函 数 ， 则 |)()xff， 反 之
8、 亦 成 立 。若 奇 函 数 在 0时 有 意 义 ， 则 0。 7. 奇函数，偶函数：偶函数： )(xff设（ ba,）为偶函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 y轴对称，例如： 12xy在 ),上不是偶函数. 第 7 页 共 76 页 满足 )(xff，或 0)(xff，若 0)(xf时， 1)(xf.奇函数： ff设（ ba,）为奇函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 3xy在 )1,上不是奇函数.满足 )(xff，或 0)(fxf，若 0(f时， 1)(xf.8.
9、对称变换：y = f（x） ）（轴 对 称 xfyy y =f（x） ）（轴 对 称 xfy =f（x） ）（原 点 对 称 fy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（x ）= 1+ x1的定义域为 A，函数 ff（x） 的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的关系是 . 解： )(f的值域是 )(f的定义域 B， )(xf的值域 R，故 ，而 A 1|x，故A.11. 常用变换： )()()( yfxfyfxyf .证： )()( yffxfff )()()( yfyfxyf 证：
10、 )(fxfyff 12. 熟悉常用函数图象：例： |2xy |关于 y轴对称. |21xy|1xy|21xy212122121 )()( bxxbxff ）（ 第 8 页 共 76 页 xy xy xy(0,1) xy(-2,1)|12|y |y关于 x轴对称.熟悉分式图象：例： 3721xy定义域 ,3|Rx，值域 ,|R值域 前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数 )10(aayx且 的图象和性质a1 00 时，y1;x0 时，01.性质（5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数对数函数 y=logax 的图象和性质:对数运算： xy23 第 9 页 共 76 页 nan
11、aaacbbaNana aaa NMNNM1121 loglog.logloglogloglog1logll logloglogll)(l 32l )12)1(推 论 ：换 底 公 式 ：（以上 10且.a,c0,b0,0,N0,M n21 ）a1 01a0)1,0(x时 0y 时 性质（5）在（0，+）上是增函数 在（0，+）上是减函数 第 11 页 共 76 页 nanaaacbbaNanaaaaNMNN1121 loglog.logllogll1logoglllogog)(3l )12)1( 推 论 ：换 底 公 式 ：（以上 10且.a,1c0,b0,0,N0,M n2 ）注：当 0,
12、ba时， )log()l()log(bab .：当 M时，取“+”，当 n是偶数时且 0M时， n，而 0，故取“”.例如： xxaaal2(llog2中 x0 而 2lxa中 xR）. y（ 1,0）与 ylog互为反函数.当 1a时， xalog的 值越大，越靠近 x轴；当 10a时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等
13、于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且 x1x 2；判定f(x1)与 f(x 2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的 第 12 页 共 76 页 关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学 第三章 数列考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项
