《指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)-补课20页》由会员分享，可在线阅读，更多相关《指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)-补课20页（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六讲 指数函数和对数函数 指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基 础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1整数指数幂概念： an n aaaa 个 )( Nn 0 10aa 1 0, n n aanN a 2整数指数幂的运算性质：（1） （2）, mnm n aaam nZ , n mmn aam nZ （3） n nn ababnZ 其中， mnmnm n aaaaa 1 n n n nn n aa a bab bb 3的次方根的概念an 一般地，如果一个数的次方等于，那么这个
2、数叫做的次方根，na Nnn, 1an 即： 若，则叫做的次方根， axnxan Nnn, 1 例如：27 的 3 次方根， 的 3 次方根，327 3 27327 3 32 的 5 次方根， 的 5 次方根232 5 32232 5 说明：若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；nan n a0a0 n aoa 0 n a 若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：n0aan n aan n a 8 的平方根 16 的 4 次方根）228216 4 若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；n0a n a ； Nnn n , 10000 n 式子叫根式，叫根指数，叫被开方
3、数。 n ana n n aa 4的次方根的性质an 一般地，若是奇数，则；naa nn 若是偶数，则n 0 0 aa aa aa nn 5例题分析： 例计算：407407 解： 40740752)25()25( 22 （二）分数指数幂 1分数指数幂： 10 5102 5 0aaaa 12 3124 3 0aaaa 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 幂的运算性质对分数指数幂也适用， n mmn aa 例如：若，则， 0a 3 22 3 2 33 aaa 4 55 4 5 44 aaa 2 32 3 aa 4 54 5 aa 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义
4、是；0,1 m nm n aaam nNn （2）正数的负分数指数幂的意义是 11 0,1 m n m nm n aam nNn a a 2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即： 10, , rsr s a aaar sQ 20, , s rrs aaar sQ 30,0, r rr aba babrQ 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没意义。 3例题分析： 【例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式：ao ， ， . 2 aa 332 aaa a 解：=； 2 aa 115 2 2
5、 222 aaaa =； 332 aa 211 3 33 aaa =a a 11 133 22 224 a aaa 【例 2】计算下列各式的值（式中字母都是正数） （1）； （2）； 211511 336622 263a ba ba b 8 31 84 m n 解（1） （2） = 211511 336622 263a ba ba b 8 31 84 m n 88 31 84 mn 2 23 3 m m n n = 2111 1 5 32 62 3 6 263ab =； 0 44aba 例 3计算下列各式： （1） （2） 34 51255 2 32 0 a a aa 解：（1）= （2） 3
6、4 51255 231 324 555 2131 3424 5555 = 2 32 a aa 52 65 6 21 32 a aa a a =； 55 124 55 5124 55 5 【例 3】已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 1 3xx 11 22 xx 33 22 xx 解：（1） 11 2 22 ()xx 1111 22 2222 ()2()xx xx ， 11 2xx325 ， 11 22 5xx 又由得， 1 3xx0 x 11 22 0 xx 所以. 11 22 5xx （2） （法一） 33 22 xx 11 33 22 )()xx （ 111111 22 222222
7、()()() xxxx xx ， 11 1 22 ()() 1xxxx 5(3 1)2 5 （法二） 33 2 22 ()()xx 3333 22 2222 ()()2xxxx 33 2xx 而 33 xx 122 ()(1)xxxx 11 2 ()()3xxxx 2 3 (33) 18 ， 33 2 22 ()20 xx 又由得， 1 30 xx0 x 33 22 0 xx 所以. 33 22 202 5xx 二、指数函数 1指数函数定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是 x ya0a 1a xaR 2指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： x ya1
8、a 01a 1a 01a 图 象 （1）定义域：R 性 质（2）值域：(0,) （3）过定点，即时(0,1)0 x 1y （4）在上是增函数R（4）在上是减函数R 【例 1】求下列函数的定义域、值域： （1） （2） （3） （4） 1 21 8 x y 1 1 ( ) 2 x y 3 x y 1( 0,1) 1 x x a yaa a 解：（1） 原函数的定义域是，210 x 1 2 x 1 , 2 x xR x 令 则 1 21 t x 0,ttR 得，8 (,0) t ytR t0,1yy 所以，原函数的值域是0,1y yy （2） 原函数的定义域是， 1 1 ( )0 2 x 0 x
9、0, 令 则， 1 1 ( ) 2 x t (0)x 01t 在是增函数 ，yt0,101y 所以，原函数的值域是0,1 （3）原函数的定义域是，R 令 则， tx 0t 在是增函数， ，3ty ,001y 所以，原函数的值域是0,1 （4）原函数的定义域是，R 由得， 1( 0,1) 1 x x a yaa a 1 1 x y a y ， ，0 x a 1 0 1 y y 11y 所以，原函数的值域是1,1 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 【例 2】当时，证明函数 是奇函数。1a 1 1 x x a y a 证明：由得，10 x a 0 x 故函数定义域关于原点对称
10、。0 x x 1 () 1 x x a fx a (1) (1) xx xx aa aa 1 1 x x a a ( )f x ()( )fxf x 所以，函数 是奇函数。 1 1 x x a y a 三、对数的性质 1对数定义：一般地，如果（）的次幂等于 N, 就是，那么数 b 叫做 a 为底 a10aa且bNab N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即，。bN a log b aNlogaNb aNb 指数式Nab 底数幂指数 对数式bN a log对数的底数真数对数 说明：1在指数式中幂 N 0，在对数式中，真数 N 0 （负数与零没有对数） 2对任意 且 , 都有 ，
11、同样：0a1a 0 1a log 10 a log1 aa 3如果把中的写成， 则有 （对数恒等式） b aNblogaN logaN aN 2对数式与指数式的互换 例如： ，；，； 2 416 4 log 162 2 10100 10 log 1002 ，； ，。 1 2 42 4 1 log 2 2 2 100.01 10 log 0.012 【例 1】将下列指数式写成对数式： （1）； （2）； （3）； （4） 4 525 6 1 2 64 327 a 1 5.37 3 m 解：（1）； （2）； （3）； （4） 5 log 6254 2 1 log6 64 3 log 27a 1
12、3 log 5.37m 3介绍两种常见的对数： 常用对数：以 10 作底简写成； 10 logNlgN 自然对数：以作底为无理数，= 2.71828 ，简写成eelogeNln N 【例 2】 （1）计算： ， 9 log 27 34 5 log625 解：设 则 ， , ；x 9 log 27927 x 23 33 x 3 2 x 令， , , x 34 5 log625 34 5625 x 4 4 3 55 x 5x （2）求 x 的值：； 3 3 log 4 x 2 2 21 log3211 x xx 解： ； 3 4 4 1 3 27 x 222 32121200,2xxxxxxx 但
13、必须： ， 舍去 ，从而 2 2 2 210 211 3210 x x xx 0 x 2x （3）求底数：， 3 log 3 5 x 7 log 2 8 x 解： ； 353 535 3(3)x 5 3 3x , 7 78 8 87 22x 2x 4对数的运算性质： 如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么 （1）；log ()loglog aaa MNMN （2）；loglog-log aaa M MN N （3）loglog() n aa MnM nR 【例 3】计算： （1）lg1421g； （2）； （3）18lg7lg 3 7 9lg 243lg 2 . 1lg 10lg
14、38lg27lg 解：（1）解法一：18lg7lg 3 7 lg214lg 2 lg(2 7)2(lg7lg3)lg7lg(32) ；lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20 解法二：18lg7lg 3 7 lg214lg 2 7 lg14lg( )lg7lg18 3 =； 18) 3 7 ( 714 lg 2 lg10 （2）； 2 5 3lg2 3lg5 3lg 3lg 9lg 243lg 2 5 （3）= 2 . 1lg 10lg38lg27lg 11 33 22 2 3 (lg32lg2 1) lg(3 )lg23lg103 2 3 2lg32lg2 12 lg 10 5换底
15、公式： ( a 0 , a 1 ；) log log log m a m N N a 0,1mm 证明：设，则，logaNx x aN 两边取以为底的对数得：，mloglog x mm aNloglog mm xaN 从而得： ， a N x m m log log a N N m m a log log log 说明：两个较为常用的推论： （1） ； （2） （、且均不为 1） loglog1 ab baloglog m n a a n bb m a0b 证明：（1） ；1 lg lg lg lg loglog b a a b ab ba （2） lglg loglog lglg m n n
16、 a ma bnbn bb amam 【例 4】计算：（1） ； （2） 0.2 1 log3 5 4 492 log 3 log 2log32 解：（1）原式 = ； 0.2 5 1log3 log 3 555 15 1 5 5 3 （2） 原式 = 2 3 4 5 4 1 2log 4 5 2log 2 1 3log 2 1 232 【例 5】已知，求（用 a, b 表示） 18 log 9a185 b 36 log45 解：， ， 18 log 9aa2log1 2 18 log 1818 ， 18 log 21 a 又， 185 b ， 18 log 5b a ba 22log1 5log9log 36log 45log 45log 18 1818 18 18 36 【例 6】设 ，求证：1643t zyx yxz2 111 证明：，1643t zyx ， 6lg lg 4lg lg 3lg lgt z t y t x， yttttxz2 1 lg2 4lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg11 四、对数函数 1对数函数的定义：函数 叫做对数函数。xy a log) 1
