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1、指对数函数的典型练习题一、求定义域：域解 (2)1loga(xa)0，loga(xa)1当a1时，0xaa，函数的定义域为(a，0)当0a1时，xaa，函数的定义域为(0，)例2：已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) ; (2)分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0u2，即0x2求x的取值范围解：(1)由0x2， 得 例3： 解 A2、 求值域例4、函数的值域是（ D ）A、 B、 C、 D、例5、函数的值域是 。，令， ,又为减函数，。例6、求下列函数的定义域与
2、值域.(1)y2; (2)y4x+2x+1+1.解：(1)x-30，y2的定义域为xxR且x3.又0，21，y2的值域为yy0且y1.(2)y4x+2x+1+1的定义域为R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1的值域为yy1.例7、求函数的定义域和值域解：由题意可得，即，故 函数的定义域是令，则，又， ，即，即函数的值域是评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响三、函数的性质：奇偶性解法一 已知函数的定义域为R，则xRf(x)是奇函数解法二 已知函数的定义域为R=loga1=0f(x)=f(x)，即f(x)为奇函数还是减函数
3、？并证明(2)讨论函数y=loga(ax1)的单调性其中a0，且a1(1)证明 方法一 f(x)在(0，1)上是增函数设任取两个值x1，x2(0，1)，且x1x2(0x1x21，x1x1x2x2x1x2)f(x1)f(x2)故f(x)在(0，1)上是增函数(2)解 由对数函数性质，知ax10，即ax1，于是，当0a1时，函数的定义域为(，0)，当a1时，定义域为(0，)当0a1时，uax1在(，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，y=loga(ax1)在(，0)上是增函数当a1时，uax1在(0，)上是增函数，而y=logau也是增函数，yloga(ax1)在(0，)上是增函数综上所述
4、，函数y=loga(ax1)在其定义域上是增函数例10 (1)设0a1，实数x、y满足logax3logxalogxy=3，减函数)上是减函数例11、 若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)0，则f(x) A在(-，0)内单调递增B在(-，0)内单调递减C在(-，-1)内单调递减D在(-，-1)内单调递增解 D 依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0a1画出图象(略)即知D正确例12 已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x0时，f(x)的解析式是 A-x2-lg(1-x) Bx2+lg(1-x)Cx2-lg(1-x) D-x2+
5、lg(1-x)解 A 设x0，则-x0，所以f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)f(x)=-x2-lg(1-x)3、 比较大小例13 图287分别是四个对数函数，y=logaxy=logbxy=logcxy=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是 AdcbaBabcdCbadcDbcad解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x1的值，易得ba1dc故选C例14 已知loga3logb3，试确定a和b的大小关系解法一 令y1=logax，y2=logbx，logaxlogb3，即取x3时，y1y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当l
6、oga3logb30时，由图像288，取x=3，可得ba1(2)当0loga3logb3时，由图像289，得0ab1(3)当loga30logb3时，由图像2810，得a1b0解法二 由换底公式，化成同底的对数函数y=log3x为增函数，ba1函数y=log3x为增函数，0ab即a1b0例15 设0x1，a1，且a1，试比较|loga(1a)|与|loga(1x)|的大小解法一 求差比大小|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)|解法二 求商比较大小=|log(1+x)(1x)|=log1+x(1x)(1x1，而01x1)|loga(1x)|loga(1x)|例
7、16 若1x2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是_log2(log2x)(log2x)2log2x24、 指对数函数的最值问题：例17设f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x) (1) 求函数f(x)的定义域；(2)f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由 （1）1x1); (2)f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2-(x-)2 +,当(p-1)/21,即1p3时，f(x)无最值；当1(p-1)/23时，f(x)最大值为2log2(p+1)-2,无最小值例18、已知，求的最小值与最大值。解：
8、, , .则当,即时,有最小值；当,即时，有最大值57。例19 设不等式2(logx)2+9(logx)+90的解集为M，求当xM时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值 解 2(x)2+9(x)+90(2x+3)( x+3)0 3x 即 ()3x()()x()3,2x8即M=x|x2,8又f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21 2x8,log2x3当log2x=2,即x=4时ymin=1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0 例20函数在区间上有最大值14，则a的值是_分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意
9、换元后的取值范围解：令，则，函数可化为，其对称轴为当时，即当时，解得或（舍去）；当时，即， 时，解得或（舍去），a的值是3或评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等例21设 ，求函数 的最大值和最小值分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 例22已知函数在区间1,1上的最大值是14，求a的值.解： ， 换元为，对称轴为.当，即x=1时取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)例23已知函数 （ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为 （2） ，解得 当 时， ；当 时，
