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1、抛物线期末复习单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）A B C D 2以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系是（ ）A 相交 B 相切 C相离 以上三种均有可能 3 设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）A B C D 无法确定4 若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）A B C D 5若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为（ ）A2B3C4 D46已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）A（，
2、1） B（，1） C（1，2） D（1，2）7已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB CD8已知抛物线的焦点为，点， 在抛物线上，且成等差数列， 则有（） 9过点作与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）A0条B1条C2条D3条10已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )A4 B8 C16 D3211抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（ ）A B C D 12过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2a B C4a D 二、填空题（本大题共4小题，每小
3、题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13若直线经过抛物线的焦点，则实数14过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 15.已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 16 对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是 。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。18（本小题满分12分）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，（1）求抛物线的方程；（2）若抛物
4、线与直线无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。19（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，Oyx1lF过作直线的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，求的值.20（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由21（本小题满分12分）如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；题（21）图（）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求
5、此定值22（本题满分14分）ABCPQOxyl如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点（）若，求的值；（）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1B ，而焦点到准线的距离是2OFPQMNB 设Q为PF中点，分别过P、Q作准线的垂线，垂足分别为M、N，则，点Q到轴的距离，故选B。3 C 垂直于对称轴的通径时最短，即当4B 点到准线的距离即点到焦点的距离，得，过点所作的高也
6、是中线 ，代入到得，5C 解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线的准线方程为，所以，解得：，故选C。6A 解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图,故最小值在三点共线时取得，此时的纵坐标都是，故选A。（点坐标为）7A 解：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设在抛物线准线的投影为,抛物线的焦点为,则,依抛物线的定义知到该抛物线准线的距离为,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和,故选A。8C 解：由成等差数列得，从而有根据抛物线定义即得：故选C。9C 解：点在抛物线上，过点作与抛物线只有一个公共点的直线只有2条，故选C。10B 解：抛物线的焦点为，准线为 设，过点向准线作垂线，则
7、，又由得，即，解得的面积为 故选B.11 A ，且 在直线上，即 12C（特例法）过抛物线的焦点F作与轴垂直的直线，则，故选C。二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13解：直线经过抛物线的焦点则14解：如图，分别过点向抛物线准线作垂线，垂足为；过点作于。则，又所以15解: 抛物线，顶点焦点是坐标原点，所以抛物线与两坐标轴的三个交点为，所以三角形面积16 设，由得 恒成立，则三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17解法一、设抛物线方程为，则焦点，由题意可得 ，解之得或， 故所求的抛物线方程为，。解法二、设抛物线方程为
8、，则焦点，准线：OFMN则由抛物线定义知：，故所求的抛物线方程为，。18解：（1）设抛物线的方程为，则消去得，则（2）解法一、显然抛物线与直线无公共点，设点为抛物线上的任意一点，点P到直线的距离为，则 当时，取得最小值，此时为所求的点 解法二、显然抛物线与直线无公共点，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，切点为P，则点P即为所求点。由消去并化简得：，直线与抛物线相切，解得：把代入方程并解得：，故所求点为。19解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）设直线的方程为：PBQMFOAxy设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方
9、程为：（）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即20xAy112MNBO解：解法一：（）如图，设，把代入得，由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知轴，又 ，解得即存在，使解法二：（）如图，设，把代入得由韦达定理得，点的坐标为，抛物线在点处的切线的斜率为，（）假设存在实数，使由（）知，则，解得即存在，使21（I）解：设抛物线的标准方程为，则，从而题（21）图因此焦点的坐标为，又准线方程的一般式为从而所求准线的方程为（II）解法一：如答21图作，垂足分别为，则由抛物线的定义知，记的横坐标分别为，则，解得类似地有，解得记直线与的交点为，则所以故解法二：设，直线的斜率为，则直线方程为将此式代入得，故记直线与的交点为，则，故直线的方程为，令，得点的横坐标，故从而为定值22ABCPQOxyl解：（1）设直线的方程为，将该方程代入得令，则因为，解得，或（舍去）故（2）由题意知，直线的斜率为直线的方程为：，即由得，因此，为该抛物线的切线（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设直线的方程为：，由得：若为该抛物线的切线，则，又设，则直线的斜率为，所以，得，因，有故点的横坐标为，即点是线段的中点
