巧用等底等高的关系求图形的面积

x5j0sxa409aa01巧用等底等高的关系求图形的面积孟桂民一、知识基础在我们以前的学习中，我们掌握了许多基本图形的面积计算方法，请同学们观察，下图中哪些图形的面积相等？为什么？已知 （单位：厘米）21/l从图中我们看出 ABEDABCSSFGJKHGFIS平 行 四 边 形平 行 四 边 形 因为△ABC 和△ABD 及△ABE 等底等高所以它们的面积相等，同理平行四边形 HGFI和平行四边形 FGJK 等底等高所以它们的面积也相等而平行四边形 FGHI 和三角形 ABC 等底等底，所以平行四边形的面积是三角形面积的2 倍从这个练习我们得到：如果两个或几个三角形底相等，高也相等，那么这几个三角形的面积也相等下面还有一组图形请同学们观察，下面几个三角形面积之间有什么关系？为什么？（单位：厘米）从观察我们看出①图 1 的三角形面积和图 2 的三角形面积相等，因为这两个三角形等底等高所以它们的面积相等②图 3 的三角形面积是图 1 的三角形面积的 2 倍，因为图 3 的三角形和图 1 的三角形高相等，图 3 三角形的底是图 1 三角形底的 2 倍，根据三角形面积计算公式得到：图 3 的三角形面积是图 1 三角形面积的 2 倍。

③图 4 的三角形面积也是图 1 三角形面积的 2 倍，因为两个三角形的底相等，图 4 三角形的高是图 1 三角形高的 2 倍，所以根据三角形面积的计算公式得到，图 4 的三角形面积是图 1 三角形面积的 2 倍，从这个练习我们又发现：如果两个三角形的底（或高）的长度相等，那么这两个三角形高（或底）的比就是这两个三角形面积的比用上面这些关系我们可以解答一些较复杂的求图面积的题二、方法例谈学校有一块三角形的植物园地，生动小组同学想把这块地等分成 4 份，以便种植四种不同的花籽进行实验，怎么分呢？于是他们请数学小组同学帮助，下面是数学小组同学们提出的一些分配方案，请你们帮助分析一下，他们的分配方案都正确吗？①把底边 BC 等边四份，再分别和 A 点连接成四个三角形，这种分配方案你认为正确吗？这种分配方案正确，因为把底边 BC 等分四份，这时四个三角形故底相等，又都以 A 点为顶点，所以它们的高也相等因为底等高等，所以这四个三角形的面积相等②已知 D 是 BC 的中点，F 是 AB 的中点 E 是 AC 的中点请你们自己分析一下，这种分配方案正确吗？通过分析我们得到：这种分配方案正确，因为 D 是 BC 的中点，所以 又ADCBS∵F 是 AB 的中点 ∴ E 是 AC 的中点∴BFDASDECAS∴ 所以分配方案正确CBFDAS③已知 D 是 BC 的中点，F 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，你认为这种分配方案正确吗？为什么？这种方案正确，因为 EF 分别为 AC、AB 的中点，所 FE 一定//BC 并且 FE 的长度等于BC 长度的一半，而 D 是 BC 的中点，所以 BD=DC=FE又∵FE//BC 且 F、E 为两边的中点，所以四个三角形的高相等。

因为四个三角形的底相等，高也相等，所以它们的面积相等，下面还有一些分配方案，你认为它们都正确吗？④D 为 BC 的中点；E 为 AD 的中点⑤D 为 BC 的中点； E 为 DC 的中点；F 为 AD 的中点BD= BC41EC=F 是 AD 的中点通过分析我们知道：这三种分配方案都正确，你还能想出其它的分配方案吗？请你也试着分一分吧！刚才我们运用三角形等底等高的关系，解决了生活中的实际问题，运用这种关系，我们还可解决许多生活中的问题三、题解变析，解决问题例 1 根据实际需要，生动小组同学把三角形植物园地划分成甲、乙两部分，你能根据它们的关系，说出乙的面积是甲面积的几倍？请看图（单位：米）从图中我们很难发现解题思路，但如何我们连接 DC 就可以把乙分解成两个三角形，这样再解答就比较简单了所以解题时先连接 DC 因为 EC=9 AE=3∴EC 长度是 AE 长度的 3 倍又因为三角形 AED 和三角形 EDC 都以 D 点为顶点，所以它们的高相等所以 ADEECS又∵D 是 AB 的中点，C 为三角形 BCD 和三角形 ACD 的顶点，所以这两个三角形等底等高，面积相等∴ ADECADEBS4∴乙的面积 ADEBCEDSS7∴乙的面积是甲面积的 7 倍。

从上面例题我们看出：在奇妙的几何世界里，几何图形多种多样，变化万千，许多问题，只靠原图形上已有的线段很难发现解题思路，需要添加一些辅助线，如例 1 中添加了DC 这条线段，这样就在图形与图形之中，架起“桥梁” ，使我们才能发现图形之间的关系，进而正确解题例 2（见图）一个平行四边形的一边长 15 厘米，这条边上高为 6 厘米，用一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差 18 平方厘米，那么其中梯形的上底是多少厘米？解答这个题时，如果我们直接求梯形的上底我们很难解决问题，因为原图形是一个平行四边形，那么我们不妨利用等底等高的关系来解题，所以可以添加一条辅助线过平行四边形的顶点 A 做 EC 的平行线，交 BC 为 F 点，∴AE=FC ED=BF所以 （三角形底等高等面积相等）EDCBFS而原分成的两部分相差 18 平方厘米，即平行四边形 AFCE 的面积是 18 平方厘米，高是 6 厘米，所以 AE 的长度就等于 18÷6=3（厘米）从而得出梯形的上底是 3 厘米师：利用等底等高的关系，我们不仅可以解决三角形面积的问题，我们还可以解决其它图形的面积问题例 3 公园里有一个长方形花坛，把这个花坛分成了四部分，现已知三部分的面积，你能根据它们的关系求出第四部分的面积吗？6 平方米 24 平方米18 平方米 ？平方米从图中我们看出第一部分面积是 6 平方米，第二部分面积是 18 平方米，而这两部分长相等，所以面积的比就是宽的比是 18：6=3：1而第三部分面积是 24 平方米，它和第四部分的长也相等，宽的比也是 3：1 所以面积比也是 3：1，即第四部分的面积是第三部分面积的三倍，所以用 24×3=72（平方米）答：第四部分的面积是 72 平方米。

出示）四、智能拓展下图是长方形实验田，现将这块实验田分成了甲、乙、丙、丁四部分，已知甲的面积是 40 平方米，乙的面积是 60 平方米，请你求出丙的面积是多少平方米？要求丙的面积，我们可以先求出丁的面积，然后用丁+乙的面积减去甲的面积，就是丙的面积连接 FB∵甲和乙的面积比是 40：60=2：3∴ 和丁的面积比也是 2：3FBES又∵ 平 方 米乙 60 FDCBFDCBESS而甲 甲乙所以等量减等量差相等，即 乙BE∴丁的面积=60÷2×3=90 （平方米）∴丙的面积=90+60-40=110（平方米）答：丙的面积是 110 平方米。