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1、第四章 扭 转,4-1 概述,1受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 2变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。,机器中的传动轴工作时受扭。,钻井中的钻杆工作时受扭。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。,4-2 外力偶矩、扭矩,直接计算,1外力偶矩,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知轴转速n 转/分钟输出功率P 千瓦求：力偶矩Me,按输入功率和转速计算,例4-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=1
2、5kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。,解：计算外力偶矩,2扭矩与扭矩图,内力T称为截面n-n上的扭矩。,扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。,右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。,+,-,扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,x,T,用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。,例 1 一传动轴如图，转速n = 300
3、r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。,扭矩图作法：同轴力图：,一、计算作用在各轮上的外力偶矩,解：,二、分别计算各段的扭矩,扭矩图,Tmax = 9.56 kNm 在BC段内,4.78,9.56,6.37,T 图(kNm),4-3 薄壁圆筒扭转,薄壁圆筒：壁厚,（R：为平均半径）,实验：,实验前：,绘纵向线，横向线(圆周线)；施加一对外力偶 m。,一、薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力,实验后： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向
4、线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,结论：,横截面上,可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。,根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,5 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,根据精确的理论分析,当tR/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。,切应力的计算公式：,二、切应力互等定理：,上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向
5、或共同背离该交线。,三、剪切胡克定律,单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,由薄壁圆筒的扭转试验可得,T,从 T 与 之间的线性关系，可推出 与 间的线性关系.,该式称为材料的剪切胡克定律应用条件：切应力不超过剪切比例极限,式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,一、圆轴
6、扭转时横截面上的应力,几何关系：由实验通过变形规律应变的变化规律,物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律,静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。,一）、几何关系：,1、实验：,4.4 圆轴扭转时的应力、强度计算,2、变形规律：,圆轴线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。,4、定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。,5、切应变的变化规律
7、：,取楔形体O1O2ABCD 为研究对象,微段扭转变形 dj,D,二）物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律,方向垂直于半径。,弹性范围内,三）静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。,公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,确定最大切应力：,由,知：当,WP 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 纯几何量,Ip, Wp 的确定 ：,1、实心圆截面,2、空心圆截面,应力分布对比：,T,t,max,t,max,t,max
8、,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,二、圆轴扭转强度条件,强度条件： ， t许用切应力；,理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力t与许用正应力之间存在下述关系：,对于塑性材料 t (0.5一0.577) 对于脆性材料， t (0.81.0) ,强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试
9、校核该轴的强度。,解： 1、求内力，作出轴的扭矩图,T图（kNm）,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,T图（kNm）,例 已知 T=1.5 kN . m，t = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。,解：1. 确定实心圆轴直径,2. 确定空心圆轴内、外径,3. 重量比较,结论：空心轴远比实心轴轻,一、圆轴扭转变形：（相对扭转角）,4.5 圆轴扭转时的变形及刚度计算,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,对于阶梯轴，两端面间相对扭转角 为,扭转角：单位：弧度（rad）。GIP抗扭刚度。表示杆抵抗扭转变形能力的强
10、弱。,单位扭转角 ：,或,二、刚度条件：,三、刚度计算：1、校核刚度；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。,-许可单位长度扭转角，可以参考机械设计手册精密机器轴： =0.150.3（o）/m一般传动轴： =1o/m,例 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa， =1/m ，G=80GPa。 (1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按
11、强度条件,按刚度条件,4.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,6.将主动轮装在两从动轮之间,受力合理,解扭转超静定问题的步骤：,4.6 简单超静定轴,超静定轴：轴的未知力偶矩的数目多于有效平衡方程的数目,例 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,几何方程：, 力的补充方程：, 由平衡方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,4-7 非圆截面杆的扭转,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面
12、发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究,非圆截面杆扭转的分类：,1、自由扭转（纯扭转），,2、约束扭转。,自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。,约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。,矩形截面扭转时，横截面切应力如图所示，边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流.,整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点.,矩形截面,短边中点的切应力 是短边上的最大切应力，且,切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等.,三、狭长矩形,狭长矩形截面的 It 和 Wt,狭长矩形截面上切应力的分布情况见图,表3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数,一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。,二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚 度中点处，应力为零。,4.8 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力,三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b），同 一厚度处，应力均匀分布。,四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（c）图上取 单元体如图（d）。,图（c）,
