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1、1【考点梳理】一、考试内容1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以
2、及它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化23.空间元素间的数量关系（1）角相交直线所成的角；
3、异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角；二面角用二面角的平面角来度量。（2）距离两点之间的距离连接两点的线段长；点线距离点到垂足的距离；点面距离点到垂足的距离；平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离；异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长；线面距离平行线上一点到平面的距离；面面距离平面上一点到另一平面的距离；球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。3.注意下面的转化关系：4.在直接证明有
4、困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。3（3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角 ，构造一个含 的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，
5、这样有利于找到两条异面直线所成的角 。（4）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足） ，然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影） ，最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（5）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面 上的图形面积为 S，它在另一个平面 上的投影面积为 S，
6、这两个平面的夹角为 ，则 S=Scos 。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析】例 1 如图 7-1，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G、H 、L、M、N 分别为A1D1，A 1B1，BC ，CD，DA，DE，CL 的中点。（1）求证：EFGF ；（2）求证：MN平面 EFGH；（3）若 AB=2，求 MN 到平面 EFGH 的距离。解 （1）如图 7-2，作 GQB
7、 1C1 于 Q，连接 FQ，则 GQ平面 A1B1C1D1，且 Q 为 B1C1 的中点。在正方形 A1B1C1D1 中，由 E、F、Q 分别为 A1D1、A 1B1、B 1C1 的中点可证明 EFFQ，由三垂线定理得EFGF 。（2）连 DG 和 EG。N 为 CL 的中点，由正方形的对称性，N 也为 DG 的中点。在DEG 中，由三角形中位线性质得MNEG，又 EG 平面 EFGH，MN 平面 EFGH，MN平面 EFGH。（3）图 7-3 为图 7-2 的顶视图。连 NH 和 NE。设 N 到平面 EFGH 的距离为 h，V ENGH=VNHEG4 AA1SNHG = hSHEG332
8、 =h EHHG6又EH= = ,HG=22162 =h 1h= 63例 2 如图 7-4，已知ABC 中， ACB=90，CDAB，且 AD=1，BD=2 ，ACD 绕 CD 旋转至ACD ，使点 A与点 B 之间的距离 AB= 。3（1）求证：BA平面 ACD；（2）求二面角 ACDB 的大小；（3）求异面直线 AC 与 BD 所成的角的余弦值。解 （1）CDAB，CDAD，CDDB ，CD平面 ABD，CDBA 。又在ADB 中，AD=1，DB=2 ，A B= ，3BAD=90，即 BAAD ，BA平面 ACD。（2）CDDB，CD AD ，BDA是二面角 ACDB 的平面角。又 Rt
9、ABD 中，AD=1 ，BD=2，5ADB=60，即 二面角 ACDB 为 60。（3）过 A作 AEBD，在平面 ABD 中作 DEA E 于 E，连 CE，则CAE 为 AC 与 BD 所成角。CD平面 ABD，DEA E ，AECE。EAAB，ADB=60，DAE=60 ，又 AD=1 ， DEA=90，AE= 21又在 RtACB 中，AC= =ABD3AC=AC= 3RtCEA 中， cosCAE= = = ,CAE3216即异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 。例 3 已知三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC 。（1）求三棱锥 PA
10、BC 的体积 V；（2）作出点 A 到平面 PBC 的垂线段 AE，并求 AE 的长；（3）求二面角 APCB 的大小。解 （1）PA平面 ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4。PA平面 ABC，PAAC。在 Rt PAC 中，可求出 PC=5。则 PB=BC=5。取 BC 中点 D，连 AD。在等腰ABC 中，求出底边上的高 AD= 。239V= 5 3= 。31239456（2）连 PD，则 PDBC，又 ADBC，BC平面 PAD。又 BC 平面 PBC，平面 PAD平面 PBC。作 AEPD 于 E，则 AE平面 PBC，AE 为点 A 到平面 PBC 的垂线段。在 Rt
11、PAD 中，由 PAAD=AEPD， 2352PD得 3 =AE ，2935求出 AE= 。1（3）作 AFPC 于 F，连 EF，由三垂线定理逆定理，得 EFPC ，AFE 为二面角 APCB 的平面角。在 Rt PAC 中，由 PAAC=PCAF，即 34=5AF，求出 AF= ，512sinAFE= = = ，FE51324则AFE=arcsin 。4例 4 如图 7-7，已知三棱柱 A1B1C1ABC 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A 与 AB，AC 均成 45角，且 A1EB 1B 于 E，A 1FCC 1 于 F。（1）求证：平面 A1EF平面 B1BCC1；（2）求点
12、 A 到平面 B1BCC1 的距离；（3）当 AA1 多长时，点 A1 到平面 ABC 与平面 B1BCC1 的距离相等？解 （1）已知 A1EB 1B 于 E，A 1FC 1C 于 F，且B 1BC 1C， B 1BA 1F。又 A1EA 1F=A1，B 1B平面 A1EF。平面 A1EF平面 B1BCC1。（2）因为A 1B1B=A 1AB=A 1AC=A 1C1C=45，A1B1=A1C1，A 1EB1=A 1FC1=90，A 1B1=2，RtA 1B1E RtA 1C1F， A1E=A1F= ，27B 1EC 1F， EF=B 1C1=2，A 1E2+A1F2=EF2，A 1EF 为等
13、腰直角三角形，取 EF 的中点 N，连 A1N，则 A1NEF，A 1N平面 B1BCC1，A 1N 为点 A1 到平面 B1BCC1 的距离。又有 A1N= EF=1，2所以点 A1 到平面 B1BCC1 的距离为 1。（3）如图 7-8，设 BC、B 1C1 的中点分别为 D、D 1，连 AD，DD 1 和 A1D1，则 NDD 1。DD 1BB 1 AA1，A，A 1，D ，D 1 四点共面，ADA 1D1，A 1ADD1 为平行四边形。B 1C1A 1D1，A 1N平面 BCC1B1，B 1C1D 1D，又 B1C1A 1N，B 1C1平面 ADD1A1，BC平面 ADD1A1，平面
14、A1ADD1平面 ABC。作 A1M平面 ABC 于 M，则点 M 在 AD 上。若 A1M=A1N，又A 1AD=A 1D1D，A 1MA=A 1ND1=90,则有 RtA 1MARt A 1ND1，于是 A1A=A1D1= 。3即当 A1A= 时，点 A1 到平面 ABC 和平面 B1BCC1 的距离相等。例 5 如图 7-9，已知：PD平面 ABCD，ADDC，ADBC，PDDCBC=11 。2（1）求 PB 与平面 PDC 所成角的大小；（2）求二面角 DPBC 的正切值；（3）若 AD= BC，求证平面 PAB平面 PBC。8解 （1）由 PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，得
15、 PDBC 。由 ADDC，ADBC，得 BCDC。又 PDDC=D，则 BC平面 PDC。所以BPC 为直线 PB 与平面 PDC 所成的角。令 PD=1，则 DC=1，BC= ，可求出 PC= 。22由 BC平面 PDC，PC 平面 PDC，得 BCPC。在 Rt PBC 中，由 PC=BC 得BPC=45，即直线 PB 与平面 PDC 所成的角为 45。（2）法一：如图 7-10，取 PC 中点 E，连 DE， 则 DEPC。由 BC平面 PDC，BC 平面 PBC，得平面 PDC 平面 PBC。则 DE平面 PBC。作 EFPB 于 F，连 DF，由三垂线定理，得 DFPB。则DFE 为二面角 DPBC 的平面角。在 Rt PDC 中，求得 DE= 。2在 Rt PFE 中，求得 EF= 。1在 Rt DEF 中，tan DFE= = 。EFD即二面角 DPBC 的正切值为 。29
