《省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题平面(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题平面(含解析)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -安徽省宿松县九姑中学 2015 届高考数学百大经典例题 平面（含解析）例 1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ） A1 B2 C3 D1 或 3分析：本题显然是要应用推论 2 判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图 ）：答案：D说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯典型 例题二例 2一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面分析：先将已知和求证改写成符号语言证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内也可先由其中两条确定一个平面
2、，另两条确定平面 ，再证平面 ， 重合已知： ， ， ， cba/AalBblCcl求证：直线 ， ， ， 共面证明： ，/ ， 确定一个平面 ， ，albl ， ，故 ABl又 ， ， 确定一个平面 c/ac同理可证 l ，且 l 过两条相交直线 ， 有且只有一个平面，故 与 重合a即直线 ， ， ， 共面bcl说明：本例是新教材第 9 页第 9 题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法这两种方法是证明线共面问题的常用方法在证- 2 -明 时，也可以用如下反证法证明：c假设直线 ，则 一定与 相交，此时直线 与 内的所有直线都不会平行，这显cca然与
3、 矛盾故 a/典型例题三例 3 已知 在平面 外，它的三边所在的直线分别交平面 于 ， ， 三点，ABC PQR证明 ， ， 三点在同一条直线上PQR分析：如图所示，欲证 ， ， 三点共线，只须证 ，PQR， 在平面 和平面 的交线上，由 ， ， 都是ABCPR两平 面的公共点而得证证明： ， ， 是平面 与平面 的交线PQAB又 ，RC 且 平面 ， ， ， ， 三点共线PQ说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理 2，这些点都在这两平面的交线上典型例题四例 4 如图所示， 与 不在同一个平面内，如果三直线 、 、 两ABC1 1AB1C两相交，证明：三直线 、 、
4、 交于一点1分析：证明三 线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可证明：由推论 2，可设 与 ， 与 ，1BC1A与 分别确定平面 ， ， 1AB取 ，则 ， P111BP又因 ，则 （公理 2） ，C于是 ，BA11- 3 -故三直线 、 、 共点1AB1C说明：空间中证三线共点有如下两种方法：（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理 2，该点在它们的交线上，从而得三线共点（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合从而得 三线共点典型例题五（1
5、）不共 面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行 但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？分析：（1）可利用公 里 3 判定。（2）可利用公里 3 的推论 3 判定。（3）需 进行分类讨论判定。解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定 3 个平面。（3）共点的三条直线可以确定 1 个或 3 个平面。说明：判定平面的个数问题关键是要 紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。平面的确定问题主要是根据已知条件和公里 3 及其 3 个推论来判定平面的个数。典型例题六例 6 、 、 为空间三点，经过这三点：ABCA能确定一个平
6、面B能确定无数个平面C能确定一个或无数个平面D能确定一个平面或不能确定平面分析：本题考查 空间确定平面的方法，解题的主要依据是公理 3 及三个推论解：由于题设中所给的三点 、 、 并没有指明这三点之间的位置关系，ABC所以在应用公理 3 时要注意条件“不共线的三点” 当 、 、 三点共线时，经过这三点就不能确定平面，AB当 、 、 三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选 D说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一 个平面典型例题七例 7判断题（答案正确的在括号内打“”号，不正确的在括号内打“”号） (1)两条
7、直线确定一个平面；（）(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面；（）(3)两两相交的三条直线不共面；（）(4)不共面的四点中，任何三点不共线 （）分析：(1)两条直线能否确定平面，应注意这两条直线的位置关系，不给出位置关系则要分情况讨论，才可得出结论两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，除此以外的任何两条直线不能确定平面；(2)经过一点的两条直线可确定一个平面，三条直线不 一定能确定平面；- 4 -(3)三条直线两两相交，若不共点时这三条直线必共面；(4)如果有三点共线，则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内，即四点共面解：(1)(2)(3)(4)说明：由(3)题的分析过程
8、可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面那么对于空间 四条直线何时共面何时不共面呢？典型例题八例 8如图，在正方体 中，点 、 分别是棱 、 的中点，1DCBAEF1AC试画出过点 、 、 三点的截面1DEF分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理 1 和公理 2 欲画出 所要求的截面与正方体各个侧面的交线解：连 并延长 与 的延长线交于点 ，连结 与 的延长线交于点 ，FD11CHED1AG连结 与 、 两条棱交于点 ，连结 、 ，则 就是过点 、 、GHABBFB1E三点的 截面说明：本题亦可以证明点 、 、 、 四点共面若 、 不是棱 与 的E1D1C中点，则作图过程 中 不一
9、定过点 ，所画的截面多边形可能是五边形典型 例题九例 9判断下列说法是否正确？并说明理由(1)平行四边形是一个平面 (2)任何一个平面图形都是一个平面(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线解：(1)不正确平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延伸的说明：在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面(2)不正确平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小，它是 不可能无限延展的说明：要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念(3)不正确在空间图形中，我们一般是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线（无论是题中原有的，还
10、是后引的辅助线） 说明：在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线；在立体几何中却不然有的同学- 5 -在学习立体几何时，对此点没有认识，必将影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养典型例题十例 10按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如下图的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的线段 ，分别是两个平面的交线AB解：由两个相交平面的画法：本题只须过线段的端点画出与交线 平行且相等的线段，AB即可得到相关的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可如下图所示说明：(1)画好两个相交平面的图形，是画好一切立体图形的基础(
11、2)画空间图形的过程，是培养我们空间想象能力的过程，一定要认真对待，决不可以掉以轻心典型例题十一例 11 (1)一个平面将空间分成几部分？(2)两个平面将空间分成几部分？(3)三个平面将空间分成几部分？画出图形， （要求：至少有两种情况有画法过程）解：(1)一个平面将空间分成两部分(2)两个平面平行时，将空间分成三部分，两个平面相交时，将空间分成四部分(3)本小题情况比较复杂，须分类予以处理情况 1：当平面 、平面 、平面 互相平行（即 ） ，将空间分成四个部分，/- 6 -其图形如右图情况 2：当平面 与平面 平行，平面 与它们相交（即 ， 与其相交） ，将空间/分成六部分，其图形如 下图
12、画法是：情况 3：当平面 、平面 、平面 都相交，且三条交线重合（即 且 l）l将空间分成六部分，其图形如下图说明：本种情况给出两种图形，一种是将交线画成水平状态，一种是将交线画成竖直状态情况 4：平面 、平面 、平面 都相交且三条交线共点，但互不重合 （即 ， l且 与 、 都相交，三条交线共点） 将空间分成八部分，其图形如下图画法是：情况 5：平面 、平面 、平面 两两相交且三条交线平 行（即 ， 与 、 l都相交且三条交线平行） 将空间分成七部分，其图形如下图- 7 -说明：1本小题(3)，在解答过程中，采用了简单到复杂递进的处理方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第三个平面以
13、不同情况介入，然后分类解决2通过此题的解答，要学会处理问题的思维方法，注意逻辑思维能力的培养与提高3本题是一个基础性很强的问题，无论是对立体图形的画法以及空间想象能力的形成都大有裨益典型例题十二例 12下图中表示两 个相交平面，其中画法正确的是（） 解：对于 A，图中没有画出平面 与平面 的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此 A 的画法不正 确同样的道理，也可知 B、C 图形的画法不正确D 的图形画法正确应选 D说明：对空间图形的准确辨识，是培养空间想象能力的重要组成部分，一定要注意这方面能力的锻炼典型例题十三例 13观察下图，说明图形中的不同之处解：上面的图形都是由九条线段
14、构成的图形、外形似乎相似仔细观察，由于图中的实、虚线的画法不同，则反映了不同的几何体A 图是一个簸箕形图形；B 图是体，是三棱柱；C 图也是体，也是三棱柱B 图如果看作是 从 三棱柱的正面观察， C 图则可看作是从三棱柱的后面观察说明：在立体几何中，一定要明确画图过程中哪条线画实线，哪条线画虚线要记住：能够看得到的线一定画成实线，被挡住的看不到的线画成虚线下面再给出两组图形如下图所示，请同学们予以辨识，指出它们有什么不同- 8 -典型例题十四例 14若点 在直线 上， 在平面 内，则 、 、 之间的关系可记作（） QbQbA B C D解法 1：（直接法）点 在直线 上， ，b直线 在平面 内
15、， ， Q应选 B解法 2：（排除法）点 与直线 之间的关系是元素与集合之间的关系，b只能用符号“ ”或“ ”表示，C、D 应予排除直线 与平面 之间是集合与集合之间的关系，只能用符号“ ”或“ ”表示，A 应予以排除综上可知应选 B说明：要能正确地使用点、直线、平面之间关系的符号语言典型例题十五例 15用符号语言表示下列语句(1)点 在平面 内，但在平面 外；A(2)直线 经过平面 外一点 ；aM(3)直线 在平面 内，又在平面 内，即平面 和 相交于直线 a解：(1) 但 (2) ， Ma(3) 且 ，即 aa- 9 -说明：符号语言比较简洁、严谨，可大大的缩短文字语言表达的长度，有利于推理、计算典型例题十六例 16将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并用用图形 语言予以表示 ACBl,分析：本题实质是数学三种语言符号语言、文字语言、图形语言的互译解 ：文字语
