《高考数学一轮复习4.2函数与方程教案新课标》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习4.2函数与方程教案新课标（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2. 函数与方程（ 2）【知识归纳】1函数零点的定义：方程 f ( x) 0 有实根函数 yf ( x) 图象与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点。2函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：（ 1 ）定理：如果函数y f ( x) 在区间 a ,b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f (a)f (b) 0 那 么 函 数 yf ( x) 在 区 间 (a ,b )内 有 零 点 ， 即 存 在 c ( a, b)， 使 得f (c )0，这个 c 也就是方程f ( x) 0 的实数根。（ 2）变号了一定有零点（能证明 f(x) 单调则有且只有一个零点） ；不变号不一定无零点（如
2、二重零点）：在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。3怎样求零点：即为求解方程的根？解一：利用计算器或计算机作x, f ( x)的对应值表、若在区间 a,b 上连续，并且有f ( a) f (b)0，那么函数 yf (x) 在区间 (a, b) 内至少有一个实数根、 若能证明 yf ( x)在 a,b 单调性，则在 a,b 有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。解二：试探着找到两个x 对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。解三：构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用。4用二分法求函数f (x) 零点近似值的步骤：在给定精确度，用二分法求函数f ( x)
3、 零点的近似值的步骤是：（ ）确定区间 a,b，验证 f (a)f (b) 0 ，给定精确度；1（ 2）求区间 (a, b) 的中点 ca b ；2（ 3）计算 f (c) ：若 f (c) =0，则 c 就是函数的零点，计算终止；若 f ( a )f (c)0 ，则令 b=c（此时零点 x0a,c ）；若 f (c)f (b)0则令 a=c（此时零点 x0c,b 。 ( 用列表更清楚 )（ 4）判断是否达到精确度：即若 a b，则得到零点近似值a或b ；否则重复（2） （ 4）。- 1 -说明：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不使用；用二分法求函数的
4、零点近似值必须用上节的三种方法之一先求出零点所在的区间。【典型例题】一、确定零点的个数例 1（1）二次函数yax2bxc(a0) 中， ac0 ，则函数的零点个数是（）A 1 个B 2 个C 0 个D无法确定分析：分析条件ac0， a 是二次项系数，确定抛物线的开口方向，cf (0) ，所以a c af (0)0 ，由此得解。解：因为 cf (0)，所以 a caf (0)0 ，即 a 与 f (0)异号，即a0a0f (0)0或0f (0)所以函数必有两个零点，故选B。（ 2）函数 f (x)x 3x24x4 的零点个数为 _。解：可由试根法求得f ( x)0 的一根为 x1 ，从而可得f
5、( x)(x1)( x2)( x2) ，由函数的零点个数为3 个。例 2 函数 f (x)ln x2的零点所在的大致区间是（）xA（ 1， 2）B（ 2， 3）C (1,1) 和（ 3， 4）D (e,)e分析：从已知的区间(a,b) ，求 f (a) 和 f (b) ，判断是否有f (a)f (b)0。解：因为 f (1)20, f (2)ln 210 ，故在（ 1，2）内没有零点，非A。又 f (3)ln 320，所以 f (2)f (3)0 ，所以 f (x) 在（ 2， 3）内有一个零点，选 B。3例 2下列函数中，在区间 1 ， 2上有零点的是 f ( x)x 1f(x) 324x5
6、 y2x23xx f (x ) ln x 3x 6 f (x) ex3x 6解析：直接求出x=1，符合 首先判断一元二次函数的零点个数，通过求所对应方程判别式的大小：0, 且 yx1 2x3 , 零点 x1,或 32 即判断 yln x 与 y3x6 的交点情况，需要画图，并判断交点所在区间 同理，判断 yex与 y3x6 的交点情况答案例 4 试证明函数f ( x)ex4x2 在 R 上有且仅有一个零点。证明：f (0)20 且 f (1)e20 ，- 2 -而函数f (x) 在区间 0,1 上是连续不断的f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点。又 f (x)ex40，f ( x) 在
7、R 上是一个单调递增函数。如果函数f (x) 有不仅一个的零点， 可设 x1, x2为它的两个不等的零点， 则有 f (x1 )f ( x2 ) ，这与 f ( x) 在 R 上是一个单调递增函数矛盾，函数 f (x) 在 R 上有且仅有一个零点。二、求函数零点的近似值例 5求方程 x3x10在区间 (0,2 内的实数解。（ 精确到 0.01 ）解：考察函数 f ( x) x3x1 由于 f (o)0, f (2) 0 ，函数 f ( x)x3x1 在 (0,2 内存在零点，即方程 x 3x10 在区间 (0,2内有解。取 0 ，2的中点1， f (1)0 方程在 1 ，2 内有解， 又 f
8、(1)0, f (1.5)0所以 f ( x) 在区间 1,1.5 存在零点， 方程在 1，1.5 内有解，如此下去，取区间1,1.5 作为计算器的初始区间。用二分法逐次计算列表如下：区间中点坐标中点函数值取区间| an bn |1,1.50.51.25f (1.25) 01.25,1.50.251.375f (1.375)01.25,1.3750.1251.3125f (1.3125)01.3125,1.3750.06251.34375f (1.34375)01.3125,1.343750.031251.328125f (1.328125)01.3125,1.3281250.0156251.
9、3203125f (1.3203125)01.3203125,1.3281250.0078125|1.3281251.3203125|=0.00781250.01 ，至此可以看出，函数的零点落在区间长度小于0.01的区间 1.3203125,1.328125 内，因为该区间的所有值精确到0.01 的都是 1.32 ，所以1.32是函数 f (x) x3x 1 精确到 0.01 的一个近似零点。- 3 -例 6已知二次函数y f1( x) 的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数yf 2 ( x) 的图象与直线 yx 的两个交点间距离为8， f ( x)f1 (x) f2 (x)（ 1）求函数f ( x) 的表达式。2a3时，关于 x 的方程 f ( x)f ( a) 有三个实数解。（ ）证明：当解：（ 1） f ( x)x28x888a28（ 2）由 f ( x)f (a) 得 x2a2，即：x2，在同一坐标系作出xaxaf 2 ( x)8和 f3 (x)x2a28的大致图象， 其中 f2 ( x) 的图象是以坐标轴为渐近线， 且位xa
