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1、第页 1 赣州市 20202021 学年度第一学期期末考试 高三数学(理科)试卷 2021 年 1 月 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 第卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.复数 3 1 2 1 i z i 的虚部为 A. 1 2 i B. 1 2 i C. 1 2 D. 1 2 2.已知函数 2 23f xxx,集合 0Mx f x, 0Nx fx(其中 fx是 fx的导 数) ,则MN A.1,1 B.1,1 C.1,3 D.1,3 3.已知函数
2、 2 3 ,0 log1,0 f xx f x xx ,则2021f A.1 B.2 C. 2 log 6 D.3 4.某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表: x 16 17 18 19 y 50 m 34 31 据上表可得回归直线方程为6.4151yx ,则上表中的m的值为 A.38 B.39 C.40 D.41 5.已知双曲线 22 2 1 2 xy aa 的离心率为2,则实数a的值为 A.1 B.1 C.2 D.1 或2 6.有以下四种变换方式: 向左平移 12 个单位长度,再将每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍; 向左平移 6 个单位长度,再将每个点的横
3、坐标伸长为原来的 2 倍; 再将每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向左平移 6 个单位长度; 再将每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向右平移 6 个单位长度; 1 第页 2 其中能将函数sin 2 6 yx 的图像变为函数sinyx图像的是 A. B. C. D. 7.实数x,y满足约束条件 40 250 270 xy xy xy ,则 24 2 xy z x 的最大值为 A. 5 3 B. 1 5 C. 1 3 D. 9 5 8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的各条棱中,最长的 棱的长度为 A.5 B.4 2 C.34 D.41 9.我们
4、学过用角度制与弧度制度量角,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆 中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度 作为单位来度量角的单位制,叫做面度制.在面度制下,角的面度数为 3 ,则角的余弦值为 A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 10.若3ea , 3 be, 3 c,其中e为自然对数的底数,则 A.abc B.bac C.acb D.bca 11.已知梯形ABCD的上底AB长为 1, 下底CD长为 4, 对角线AC长为13,BD长为2 2, 则ABD 的面积为 A.1 B.2 C.3 D.4 12.
5、过抛物线 2 4yx的焦点作两条相互垂直的弦AB,CD,且ABCDAB CD,则的值为 A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 第卷 2 第页 3 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量1,3a ,4,bk,若 aab,则k _. 14.在 34 11xx的展开式中, 5 x的系数为_(用数字作答). 15.正方形ABCD的边长为 2,以A为起点作射线交边BC于点E,则 2 3 3 BE 的概率为 _. 16.在边长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中,球 1 O同时与以B为公共顶点的三个面相切,球 2 O同时与 以 1 D为
6、公共顶点的三个面相切,且两球相切于点E,若球 1 O, 2 O半径分别为 1 r, 2 r,则 12 14 rr 的最小 值为_. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,满足 33 2Sa, 85 22aa. (1)求数列 n a的通项公式; (2)记 12 1 n nnn b aaa ,求数列 n b的前n项和 n T. 18.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,ABC,ACE,B
7、CD均为等边三角形,且平面ACE 平面ABC, 平面BCD 平面ABC. (1)证明:/ /DEAB; (2)若4AB,求二面角BCED的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的 8 个小球,其中白色球与黄色球各 3 个,红色球与绿色球 各 1 个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛,摸到白球每个记 1 分、黄球每个记 2 分、红球每个记 3 分、绿球 3 第页 4 每个记 4 分,以得分高获胜.比赛规则如下:只能一个人摸球;摸出的球不放回;摸球的人先从袋中 摸出 1 球;若摸出的是绿色球,则再从袋子里摸出 2 个球;若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出 3
8、个 球,他的得分为两次摸出的球的记分之和;剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和. (1)若甲第一次摸出了绿色球,求甲的得分不低于乙的得分的概率; (2)如果乙先摸出了红色球,求乙得分的分布列和数学期望E. 20.(本小题满分 12 分) 过 平 面 上 点P作 直 线 1 1 : 2 lyx, 2 1 : 2 lyx 的 平 行 线 分 别 交y轴 于 点M,N且 22 8OMON. (1)求点P的轨迹C方程; (2)若过点0,1Q的直线l与轨迹C交于A,B两点,若7 AOB S ,求直线l的方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 x f xxe(其中e为自然对数的底数). (1
9、)求函数 fx的最小值; (2)求证: 1 ln 2 x f xex. (二)选考题 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按 所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,已知过点,0P m的直线l的参数方程是 2 2 2 2 xmt yt (t为参数) ,以坐标 原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l和曲线C交于A,B
10、两点,且1PAPB,求实数m的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 212f xxxa, 1 2g xx x . 4 第页 5 (1)若1a ,解不等式 4f x : (2)如果任意 1 xR,都存在 2 xR,使得 12 f xg x,求实数a的取值范围. 5 第页 6 赣州市 20202021 学年度第一学期期末考试 高三理科数学参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A D D A D C B A A B 10.解:因为函数 3 yx在R上单调递增,所以bc; ln x y x 在, e 单调递减,
11、故 ln3ln 3 e e ,即 3 3ee,从而得ab,故abc. 11.解:如图,过D作/ /DEAC,连接AE,则 22 2 52 213 2 cos 22 5 2 2 EBD ,所以 2 sin 2 EBD,故 1 1 2 2sin1 2 ABD SABD . 12.解: 2 4yx的焦点为1,0,设AB的直线方程为1xty,CD的直线方程为 1 1xy t , 由 2 1 4 xty yx 得 2 440yty,设 11 ,A x y, 22 ,B xy, 则 12 4yyt, 12 4y y ,则 2 41ABt, 同理 2 1 41CD t , 2 2 1 42ABCDt t 2
12、 2 1 162ABCDt t , 故 1 4 . 二.填空题 13.2; 14.3; 15. 2 3 ; 16.93 3. 16.解:由已知得 121212 3 33 31 rrrrrr , 12 12121 21 2 1431143114 5 33 rr rrrrrrrr 6 第页 7 31 993 3 3 ,故最小值为93 3. 三.解答题 17.解: (1)因为数列 n a为等差数列,设其公差为d,结合 33 2Sa, 85 22aa, 11 11 3322 7242 adad adad 2 分 解得: 1 1ad4 分 所以11 n ann 6 分 (2) 12 11111 1221
13、12 n nnn b aaan nnn nnn 8 分 111111111 2 1 22 32 2 33 42112 n T n nnn 10 分 所以 2 1 113 2 212412 n nn T nnnn 12 分 18.(1)证明:分别取AC,BC的中点F,G,连结EF,DG,FG1 分 因为ACE,BCD均为全等的等边三角形, 故EFAC,DGBC且EFDG2 分 又因为平面ACE 平面ABC且交于AC, 平面BCD 平面ABC且交于BC, 故EF 面ABC,DG 面ABC3 分 从而有/ /EFDG,又EFDG, 进而得四边形DEFG为平行四边形4 分 得:/ /DEFG,又/ /
14、FGAB5 分 即:/ /DEAB6 分 7 第页 8 (2)解:连结FB,由ABC为等边三角形,故BFAC,结合EF 面ABC,故分别以FA,FB, FE为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系7 分 又4AB,所以4ABACBCCEAEBDCD,2DE , 则2,0,0C , 0,2 3,0B, 0,0,2 3E, 1, 3,0G , 所以 2,2 3,0CB , 2,0,2 3CE , 1, 3,0EDFG 8 分 令平面BCE的一个法向量为, ,nx y z, 所以 22 30 22 30 n CBxy n CExz 取3x ,1y ,1z , 所以平面ACD的一个法向量为
15、 3, 1, 1n 9 分 令平面CDE的一个法向量为 1111 ,nx y z, 所以 111 111 30 22 30 n EDxy n CExz ,取 1 3x , 1 1y , 1 1z , 所以平面CDE的一个法向量为 3,1, 1n 10 分 令二面角BCED为,由题意可知为锐角, 则 1 1 1 33 coscos, 555 n n n n n n 12 分 方法二:连结BF,过D作DHEC,垂足为H,过H作HIEC,交BC于I, 则DHI为二面角BCED的平面角为 因为平面ACE 平面ABC,ABC,ACE,BCD均为全等的等边三角形,EFFB, 因为4AB,所以2 6BF ,
16、 在CDE中,4ECCD,2DE ,由等面积法得 15 2 DH ,则 1 2 EH , 在EHI和BCE中, 8 第页 9 由 222222 cos 22 EIEHHIECEBBC HEI EI EHEC EB 得 15 6 HI , 在EDI和BDE中, 由 222222 cos 22 EDEIDIEDEBBD DEI ED EIED EB 得 2 6 3 DI , 在DHI中 222 3 coscos 25 DHHIDI DHI DH HI , 二面角BCED的余弦值为 3 5 . 19.解: (1)记“甲第一次摸出了绿色球,甲的得分不低于乙的得分”为事件A,因为球的总分为 16,即 事件A指的是甲的得分大于等于 81 分 则 112 163 2 7 93 217 C CC P A C 4 分 (2)如果乙第一次摸出红球,则可以再从袋子里摸出 3 个小球,则得分情况有:6 分、7 分、8 分、9 分、 10 分、 11 分等5 分 3 3 3 7 1 6 35 C P C 6