《六年级下册奥数第七讲整数的分拆例题习题_通用版(例题含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级下册奥数第七讲整数的分拆例题习题_通用版(例题含答案)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七 整数的分拆整数分拆是数 中一个既古老又活 的 . 把自然数 n 分成 不 序的若干个自然数之和n=n1+n2+ nm（n1n2 nm1）的一种表示法，叫做n 的一种分拆 . 被加 及 数 m加以一些限制条件，就得到某种特殊 型的分拆 . 早在中世 ，就有关于特殊的整数分拆 的研究 .1742 年德国的哥德巴赫提出 “每个不小于 6 的偶数都可以写成两个奇 数的和” ， 就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家 景 在研究中取得了突出的成果 . 下面我 通 一些例 ， 介 有关整数分拆的基本知 .一、整数分拆中的 数 例 1 有多少种方法可以把 6 表示 若干个自然数之和？解：根据分拆的 数分
2、如下：把 6 分拆成一个自然数之和只有 1 种方式；把 6 分拆成两个自然数之和有 3 种方式6=5+1=4+2=3+3；把 6 分拆成 3 个自然数之和有3 种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；把 6 分拆成 4 个自然数之和有2 种方式631 1 1=2+2+1+1；把 6 分拆成 5 个自然数之和只有1 种方式6=2+1+1 1 1；把 6 分拆成 6 个自然数之和只有1 种方式61+1+1+1+1+1.因此，把 6 分拆成若干个自然数之和共有1+3+32+1+1=11种不同的方法 . 明：本例是不加限制条件的分拆，称 无限制分拆， 它是一 重要的分拆 .例 2 有多少种方法可
3、以把 1994 表示 两个自然数之和？解法 1：采用有限 法并考 到加法交 律：1994=1993+1=1 1993第 1页=1992+2=21992=998996=996+998=997+997因此，一共有 997 种方法可以把 1994 写成两个自然数之和 .解法 2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993 个加号“ +”中每次确定一个，并把其前、后的 1 分别相加， 就可以得到一种分拆方法； 再考虑到加法交换律，因此共有 997 种不同的分拆方式 .说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n2 表示为两个自然数之和，一共有k 种不同的方式，其中例 3 有多少种方法可以
4、把 100 表示为（有顺序的） 3 个自然数之和？（例如，把 3+592 与 5+3+92 看作为 100 的不同的表示法）分析 本题仍可运用例 1 的解法 2 中的处理办法 .解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的 99 个加号“ +”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、 中、后三段的 1 分别相加，就可以得到一种分拆方法 . 因此，把 100 表示为 3 个自然数之和有种不同的方式 .说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n 3 表示为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10 题） .例 4 用 1 分、2 分和 5 分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析 用 1 分、 2 分和 5
5、分硬币凑成一元钱与用 2 分和 5 分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的 . 于是，本题转化为：“有 2 分硬币 50 个， 5 分硬币 20 个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按 5 分硬币的个数分21 类计数；假若 5 分硬币有 20 个，显然只有一种凑法；假若 5 分硬币有 19 个，则 2 分硬币的币值不超过 100-5 19=5（分），于是 2 分硬币可取 0 个、 1 个、或 2 个，即有 3 种不同的凑法；第 2页假若 5 分硬 有 18 个， 2 分硬 的 不超 100-5 18=10（分），于是 2 分硬 可取 0 个、1 个、2 个、 3 个、4 个、或 5 个
6、，即有 6 种不同的凑法；如此 下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11 13+16+18+21+48+51=5（ 1+3+6+8） +4（ 10+2030+40）+51=9040051=541（种） . 明：本例 上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100 的非 整数解的 数 .上述例 2、例 3、例 4 都是有限制条件的特殊的整数分拆 .二、整数分拆中的最 在国内外的数学 中 常出 与整数分拆有关的最大 或最小 的 .例 5 把 14 分拆 两个自然数之和，使它 的乘 最大.解：由例 2 可知，把 14 分拆成两个自然数之和，共有7 种不同的方式 . 每一种分拆 算相 的乘 ：
7、14=113，11313；14=2+12， 2 12=24；14=311，311=33；14=410，410=40；14=59， 5 9=45；14=6+8，68=48；14=7+7，77=49.因此，当把 14 分拆 两个 7 之和的 候，乘 （ 77=49）最大 . 明：本例可以推广 一般性 ：“把自然数 n 2 分拆 两个自然数 a 与 b（ a b）之和，使其 ab 取最大 的条件是 a=b 或 a-b=1 （ a b）” . 事 上，假 a-b=1m（其中 m是一个自然数）， 然 n=a第 3页 b=（a-1 ）+（b1），而有（ a-1 ）（ b1） a b a-b-1 ab m
8、a b.换句话说，假设 n=a+b 且 a-b 1，那么乘积 ab 不是最大的 . 这样，例 6 试把 14 分拆为 3 个自然数之和，使它们的乘积最大.分析 由例 5 的说明可知，假设 n a+bc（abc）且 a-c 1 时，乘积 abc 不是最大的 . 换句话说，若 n=a+bc（a b c），当 a、b、 c 中的任意两数相等或差为 1 时，乘积 a bc 取最大值 .解：因为 14=342，由分析可知：当a=b=5且 c=4 时，乘积 ab c=554 100 为最大值 .说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n3 分拆为 3 个自然数 a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题
9、：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大 .这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是： 问题中没有规定把N拆成几个自然数的和 . 这也正是这题的难点， 使分拆的种类要增加许多 . 我们仍旧走实验 - 观察 - 归纳结论这条路 . 先选择较小的自然数 5 开始实验 . 并把数据列表以便比较 .实验表 1：结果： 5 拆成 2 3 时，其积 6 最大 .第 4页你注意到了吗？我们的实验结果是按把 5 拆分数的个数多少， 由多到少的次序进行的 . 再注意，当被拆数 n 3 时（这里 n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有 1. 因为当 n3，n=1+（n-1 ）=2+
10、（ n-2 ），且 2（ n-2 ） 1（ n-1 ）.结果： 7 拆分成 22+3 时 . 其积 12 最大 .注意，分拆数中有 4 时，总可把 4 再分拆成 2 与 2 之和而不改变分拆的乘积 .实验结果 4：8 拆分成 2 3+3 时，其积最大 .实验结果 5：9 拆分成 3+3+3 时，其积最大 .实验结果 6：10 拆分成 3+3+22 时，其积最大 .观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大， 拆分数都由 2 与 3 组成，其形式有三种：自然数 =（若干个 3 的和）；自然数 =（若干个 3 的和） +2；自然数 =（若干个 3 的和） +22.因此，我们得到结论： 把一个自然数 N
11、 拆分成若干个自然数的和， 只有当这些分拆数由 2 或 3 组成，其中 2 最多为 2 个时，这些分拆数的乘积最大 . （因为 2+2+2=3+3，2 2 2 3 3，所以分拆数中 2 的个数不能多于 2 个. ）例 分别拆分 1993、1994、2019 三个数，使分拆后的积最大.解： 1993=66431.1994=664321994 分拆成（ 664 个 3 的和） 2 时，其积最大 .2019=66732019 分拆成（ 667 个 3 的和）时，其积最大 . 我们以上采用的 “实验 - 观察 - 归纳总结” 方法，在数学上叫做不完全归纳法 . 我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了
12、公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式 . 不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一 . 但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明 . 这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行 .第 5页第 6页习题七1. 两个十位数 1111111111 和 9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2. 计算：3. 计算： 99992222+33333334.4. 在周长为 18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5. 用 6 米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈. 问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6. 把 17、18 两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值 .第 7页
