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1、1高中数学高考综合复习专题二十六 立体几何平行与垂直 2二、高考考点1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.三、知识要点（一）空间直线1、空间两条直线的位置关系（1）相交直线有且仅有一个公共点；（2）平行直线在同一个平面内，没有公共点；（3）
2、异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.2、平行直线（1）公理 4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设 a,b,c 为直线， （2）空间等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.（2）有关概念：（）设直线 a,b 为异面直线，经过空间任意一点 O 作直线，并使/a，/b,则把和所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角.特例：如果两条异面直线所成角是直角，则
3、说这两条异面直线互相垂直.认知：设 为异面直线 a，b 所成的角，则 .（）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.（）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.（二）空间直线与平面直线与平面的位置关系：3（1）直线在平面内直线与平面有无数个公共点；（2）直线和平面相交直线与平面有且仅有一个公共点；（3）直线和平面平行直线与平面没有公共点.其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.1、直线与平面平行（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据
4、.（2）判定判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出 .（3）性质性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、直线与平面垂直（1）定义：如果直线 l 和平面 内的任何一条直线都垂直，则说直线 l 和平面 互相垂直，记作 l .（2）判定：判定定理 1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理 2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.符号表示： .（3）性质性质定理：如果两条直线垂直于同
5、一个平面，那么这两条直线平行.符号表示： （4）概念（）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.（）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.（三）空间两个平面1、两个平面的位置关系（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.（2）两个平面的位置关系4（）两个平面平行没有公共点；（）两个平面相交有一条公共直线.2、两个平面平行（1）判定判定定理 1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理 2：（线面垂直性质定理）：垂
6、直于同一条直线的两个平面平行.（2）性质性质定理 1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.性质定理 2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.3、有关概念（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.（2）两个平行平面的公垂线段都相等.（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.4、认知：两平面平行的判定定理的特征：线面平行 面面平行，或线线平行 面面平行；两平面平行的性质定理的特征：面面平行 线面平行，或面面平行 线线平行.它们恰是平行范畴中同一事物的
7、相互依存和相互贯通的正反两个方面.四、经典例题例 1、在正方体 中，E、F、G、H 分别为棱 BC、 、 、 的中点，求证：（1） ；（2） 分析：直面线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：（）构造平行四边形；（）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；（）构造梯形5注意到已知某些棱的中点，想到找取相关线段的中点，配合原来线段的中点构造上述平面图形.对于（1）适合条件的三角形难以构造，故首选构造平行四边形；对于（2），则由不同图形的构造引出不同的证法.证明：（1）连接 ，并设 ，则 分别为两底面的中心.取
8、 OB 中点为 M， 则由 EM 为BOC 的中位线得 注意到 为正方形 四边形 为矩形 由得 四边形 为平行四边形 又 （2）证明（构造平行四边形）：取 中点为 N，连接 ，则由 为平行四边形， 又连结 知四边形 为平行四边形6 由得 注意到 同理可得 于是由得 。例 2、已知平面 分析：已知直线与平面平行，必然要利用线面平行的性质或定义，一般是利用线面平行性质定理.为此，已知直线，需要经过直线 n 作平面 ，进而推出 n/a.本题证明由此展开.证明：在平面 （线面平行性质定理） （线面平行判定定理）又 平面 （线面平行性质定理） 于是由得 n/m（公理 4）点评：立体几何的作图，必须是出手
9、有理有据，已知直线 ，除极个别情形外，一般要利用线面平行性质定理，因此，需要经过直线 a 作平面 进而推出 a/b，切不可直接在 内作 b/a，为大家提供“零分证法”的反例.7例 3、在正三棱柱 中，E 是 AC 中点，（1）求证： ；（2）求证： ；（3）若 .分析：注意到正三棱柱的特性（1）利用上述特性构造三角形，构造平行四边形或构造面面平行，不同的构造产生出不同的证法；（2）注意到正三棱柱的侧面与底面垂直，又这里 BEAC，问题易证.（3）注意到 ， 的垂线易作，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.解：（1）证法一（构造三角形中位线）：连结 B1C，设 的对角线交点.又连结 EM，则
10、 EM 为 的中位线，又 .证法二（构造平行四边形）：在平面 内延长 并与 的延长线交于点 G，连结 BG，则 GA 四边形 GAB1B 为平行四边形AB 1/GB又 证法三（构造平行平面）取 A1C1 中点为 E1，连结 B1E1， ，AE 1.四边形 为矩形8 为平行四边形EC 1/AE1 ABC 为正三角形，E 为 AC 中点，BEAC又正三棱柱底面 ABC侧面 BE平面 同理要证， 于是由得， 注意到 （2）从略.（3）在平面 内作 FN 是 CN 在 上的射影， （三垂线定理） 9 点评：对于（1），三种证法各有千秋.证法一中连结 CB1，设出 后，A CB1 的中位线便呼之欲出了；
11、证法二注意到 C1E 的延长线必与 A1A 的延长线相交，大胆“ 出格”，用正三棱柱之外的线段 GB 沟通 AB1 与平面BEC1 的联系；证法三则审时度势，主动“升格”，先证相关的两平面平行，而后利用面面平行定义的推论推出.这里的三种证法为证明线面平行的主要策略.例 4、已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，再过 A 作 AESB 交 SB 于 E，过 E 作 EFSC 交 SC 于 F.（1）求证：AFSC；（2）若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD.分析：（1）注意到 AF 与 SC 在同一个平面内，证明 AFSC 首选三垂线定理逆定理.为此，从已知的线面垂直切入，
12、从寻找它们所在平面 SAC 的垂线突破.（2）仿（1），从寻找平面 SAD 的垂线切入或突破.证明：（1）四边形 ABCD 为矩形BCABSA平面 ABCD，AB 为 SB 在平面 AC 上的射影BCSBBC平面 SABBCAE即 AEBC又 AESBAE平面 SBCEF 是 AF 在平面 SBC 上的射影由 SCEF 得 SCAF，即 AFSC（2）由（1）知 SC平面 AEF，又 AG 平面 AEFSCAG ，即 AGSC 由题设得 CDAD，CD SACD平面 SADCDAG，即 AGCD 10于是由得 AG平面 SCDAGSD点评：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，向线面
13、垂直或面面垂直延伸.（1）的证明两用三垂线定理或其逆定理，（2）的证明则运用了线面垂直的定义与判定定理，它们共同展示了证明垂直问题的基本策略.例 5、已知 P 是ABC 所在平面外一点，且 PA平面 ABC，若 O、Q 分别是 ABC 和 PBC 的垂心，求证：OQ平面 PBC.分析：循着证明线面垂直问题的基本思路，从已知的线面垂直切入，去构造有关直线的垂面.证明：连结 AO 并延长交 BC 边于 D， 连结 PD.O 为ABC 的垂心BCAD PA平面 ABCPABC又ADPA=ABC平面 PADBCPD 又 Q 为PBC 的垂心，QPD， 又 OADOQ 平面 PADOQBC 再连结 BO
14、 并延长交 AC 于 H，连结 BQ 并延长交 PC 于 R，则 ACBH，PCBR. 连结 HR.PA平面 ABC平面 PAC平面 ABC且平面 PAC平面 ABCAC由 BHAC 得 BH平面 PACBHPC 即 PCBH注意到 PCBRPC平面 BHR而 OQ 平面 BHRPCOQ 于是由得 OQ平面 PBC点评：证明过程的前部，以 BC 的垂直关系为关系，以推出 BCOQ 为第一目标；证明过程的中部，以 BH 的垂直关系为主线，推出 BHPC 后利用垂直关系的相互性转移；证明过程的后部，则以 PC 的垂直关系为主线，以推出PC OQ 宣告结束 .证明线面之间的垂直关系或平行关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.例 6、在立体图形 P-ABC 中，已知 PA=PB，C
