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1、1课时跟踪检测(四十八)空间向量及其运算和空间位置关系1(2013大同月考)若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，能使 l 的是()A a(1,0,0)， n(2,0,0)B a(1,3,5)， n(1,0,1)C a(0,2,1)， n(1,0，1)D a(1，1,3)， n(0,3,1)2(2012惠州模拟)已知 a(2，1,3)， b(1,4，2)， c(7,5， )，若a， b， c 三向量共面，则实数 等于()A. B.627 637C. D.607 6573.如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 a， b， c，
2、则下列向量中与 相ABD等的向量是()A a b c B. a b c12 12 12 12C a b c D. a b c12 12 12 124.(2013晋中调研)如图所示，已知空间四边形 OABC， OB OC，且 AOB AOC ，则 cos ， 的值为() 3 OABCA0 B.12C. D.32 226在正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 为正方形 A1B1C1D1四边上的动点， O 为底面正方形ABCD 的中心， M， N 分别为 AB， BC 的中点，点 Q 为平面 ABCD 内一点，线段 D1Q 与 OP 互相平分，则满足 的实数 的值有()Q2A0 个 B1 个C
3、2 个 D3 个7(2012佛山调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分别为棱 AA1和 BB1的中点，则 sin ， 的值为_M1DN8.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， E、 F 分别是棱 BC、 DD1上的点，如果B1E平面 ABF，则 CE 与 DF 的和的值为_9.如图所示， PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面， AB2， E 为 PB 的中点，cos ，DP ，若以 DA、 DC， DP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则点 EAE33的坐标为_10.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， AB
4、 AD， AC CD， ABC60，PA AB BC， E 是 PC 的中点证明：(1)AE CD；(2)PD平面 ABE.311已知矩形 ABCD 中， AB6， BC6 ， E 为 AD 的中点(图甲)沿 BE 将 ABE 折起，2使二面角 A BE C 为直二面角(图乙)，且 F 为 AC 的中点(1)求证： FD平面 ABE；(2)求证： AC BE.12(2012长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD 中，AD BC， ABC90， PD平面 ABCD， AD1， AB ， BC4.3(1)求证： BD PC；(2)设点 E 在棱 PC 上， ，若 DE平面 PAB，
5、求 的值PC1已知 (1,5，2)， (3,1， z)，若 ， ( x1， y，3)，ABBCABCP且 BP平面 ABC，则实数 x， y， z 分别为()A. ， ，4 B. ， ，4337 157 407 157C. ，2,4 D4， ，15407 4072设空间四点 O， A， B， P 满足 t ，其中 0t1，则有()OAB4A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 AB 的延长线上C点 P 在线段 BA 的延长线上D点 P 不一定在直线 AB 上3(2012佛山模拟)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E、 F 分别是 BB1、 DD1的中点求证：(1)FC1
6、平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.答 案课时跟踪检测(四十八)A 级1选 D若 l ，则 an0.而 A 中 an2，B 中 an156，C 中 an1，只有 D 选项中 an330.2选 D由题意得 c t a b(2 t ， t4 ，3 t2 )，Error! Error!3选 A ( )BM11A12 DB c (b a) a b c.12 12 124选 A设 a， b， c，OOC由已知条件 a， b a， c ，且| b| c|， 3 a(c b) ac abBC |a|c| |a|b|0，cos ， 0.12 12 OABC5选 A设 a， b， c，则 a b
7、c，D112 a2 b2 c22 ac2 bc2 ca25，1C因此| |5.6选 C建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为 2，5则 P(x， y,2)， O(1,1,0)， OP 的中点坐标为，(x 12 ， y 12 ， 1)又知 D1(0,0,2)， Q(x1， y1,0)，而 Q 在 MN 上， xQ yQ3， x y1，即点 P 坐标满足 x y1.有 2 个符合题意的点 P，即对应有 2 个 .7.解析：设正方体棱长为 2，以 D 为坐标原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y轴， DD1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，可知 (2，2,1)，CM(2,2，1
8、)DNcos ， ，CM1DN19sin ， .1459答案：4598解析：以 D1A1、 D1C1、 D1D 分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，设 CE x， DF y，则易知 E(x,1,1)， B1(1,1,0)， ( x1,0,1)，1E又 F(0,0,1 y)， B(1,1,1)， (1,1， y)，F由于 AB B1E，故若 B1E平面 ABF，只需 (1,1， y)(x1,0,1)0 x y1.答案：19解析：设 PD a，则 A(2,0,0)， B(2,2,0)，6P(0,0， a)， E .(1， 1，a2) (0,0， a)， .DA( 1， 1， a2)由 c
9、os ， ，33 a ， a2.a22 2 a24 33 E 的坐标为(1,1,1)答案：(1,1,1)10证明： AB、 AD、 AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA AB BC1，则 P(0,0,1)(1) ABC60， ABC 为正三角形 C ， E .(12， 32， 0) (14， 34， 12)设 D(0， y,0)，由 AC CD，得 0，ACD即 y ，则 D ，233 (0， 233， 0) .又 ，C( 12， 36， 0) E(14， 34， 12) 0，AE12 14 36 34 ，即 AE CD.D(2)法一： P(0,0,1)， .(0， 233，
10、1)又 (1)0，AE34 233 12 ，即 PD AE.D (1,0,0)， 0.BPAB PD AB，又 AB AE A， PD平面 AEB.7法二： (1,0,0)， ，ABE(14， 34， 12)设平面 ABE 的一个法向量为 n( x， y， z)，则Error!令 y2，则 z ， n(0,2， )3 3 ，显然 n.PD(0， 233， 1) PD33 n， 平面 ABE，即 PD平面 ABE.11证明：(1)如图 1，设 M 为 BC 的中点，连接 DM、 MF. F 为 AC 的中点， M 为 BC 的中点， MF AB.又 BM 綊 DE，四边形 BMDE 为平行四边形
11、， MD BE. MF MD M， AB BE B，平面 DFM平面 ABE.又 PD平面 DFM， FD平面 ABE， FD平面 ABE.(2)在矩形 ABCD(如图 2)中，连接 AC，交 BE 于 G. ( )( )BEACEABC 2 36360. AC BE.在图 3 中， AG BE， CG BE.又 AG GC G， BE平面 AGC.又 AC平面 AGC， AC BE.12解：(1)证明：如图，在平面 ABCD 内过点 D 作直线8DF AB，交 BC 于点 F，以 D 为坐标原点， DA、 DF、 DP 所在的直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz，则
12、A(1,0,0)， B(1， ，0)， D(0,0,0)， C(3， ，0)3 3(1)设 PD a，则 P(0,0， a)， (1， ，0)， (3， ， a)，3 P3 330， BD PC.BC(2)由题意知， (0， ，0)， (0,0， a)， (1,0， a)，3 PA(3， ， a)，P3 ， (3 ， ， a )，E3 (0,0， a)(3 ， ， a )DP3(3 ， ， a a )3设 n( x， y， z)为平面 PAB 的法向量，则Error!即Error!令 z1，得 x a， n( a,0,1)， DE平面 PAB， n0，DE3 a a a 0，即 a(14 )0
13、， a0， .14B 级1选 B ， 0，AC即 352 z0，得 z4.又 BP平面 ABC， BP AB， BP BC， (3,1,4)，则Error!解得Error!C2选 A0 t1， P 点在线段 AB 上3证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D xyz，则有 D(0,0,0)、 A(2,0,0)、 C(0,2,0)、 C1(0,2,2)、 E(2,2,1)、 F(0,0,1)，所以(0,2,1) ， (2,0,0)， (0,2,1)1FCE设 n1( x1， y1， z1)是平面 ADE 的一个法向量，则 n1 ， n1 ，DA即Error!解得Error!令 z12，则 y11，所以 n1(0，1,2)9因为 n1220，所以 n1.FCFC又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.(2)由(1)得 B1(2,2,2)， (2,0,0)设 n2( x2， y2， z2)是平面 B1C1F 的一个法向量，则 n2 ， n2 ，1FC即Error! 解得Error!令 z22，则 y21，所以 n2(0，1,2)因为 n1 n2，所以平面 ADE平面 B1C1F.
